Pregunta: Sea H un subgrupo de G y sea L := L(G, H) el conjunto de clases laterales izquierdas de H en G. Sea πg : L −→ L para g ∈ G definido por πg(xH) = gxH para todo xH ∈ L. (a) Demuestre que πg es una permutación de L. (b) Sea θ : G → S(L) definido por θ(g) = πg. Demuestre que θ es un homomorfismo. (c) Encuentra el núcleo de θ. (d) Supóngase que |G : H| = n.

Sea H un subgrupo de G y sea L := L(G, H) el conjunto de clases laterales izquierdas de H en G. Sea πg : L −→ L para g ∈ G definido por πg(xH) = gxH para todo xH ∈ L.

(a) Demuestre que πg es una permutación de L.

(b) Sea θ : G → S(L) definido por θ(g) = πg. Demuestre que θ es un homomorfismo.

(c) Encuentra el núcleo de θ.

(d) Supóngase que |G : H| = n. Deduzca que existe un subgrupo normal N de G con N ≤ H tal que n divide a |G : N| y |G : N| divide a n!

(e) Supóngase que G es un grupo finito y |G : H| = p, donde p es el divisor primo más pequeño de |G|. Demuestre que H ✁ G.