Pregunta: Sea G un grupo de orden p2, donde p es primo. Demostrar que G debe tener un subgrupo de orden p Por favor, dime lo que me estoy perdiendo. Desde |G|=p^2≠1 sabemos que G≠{e} y por lo tanto ∃ x∈G tal que x≠e Así que considere que el elemento x∈G con x≠e. Por el Teorema de Lagrange, el orden de ese elemento x debe ser 1,p o p2 1) o(x) no puede ser 1 porque x≠1

Sea G un grupo de orden p2, donde p es primo. Demostrar que G debe tener un subgrupo de orden p

Por favor, dime lo que me estoy perdiendo.

Desde |G|=p^2≠1 sabemos que G≠{e} y por lo tanto ∃ x∈G tal que x≠e Así que considere que el elemento x∈G con x≠e. Por el Teorema de Lagrange, el orden de ese elemento x debe ser 1,p o p2

1) o(x) no puede ser 1 porque x≠1

2) Si o(x)=p^2=|G|, significa que G es cíclico y <x^1>,<x^p> y <x^p^2> son los tres subgrupos distintos de G, todos cíclicos, y por tanto sus respectivos órdenes serán 1, p y p^2

3) ESTA ES MI PREGUNTA: ¿Qué tal si o(x)=p ? ¿por qué podemos decir que entonces H≤G y |H|=p ????? ¡Gracias!