Pregunta: Sea f(x; θ) = θxθ−1 para 0 < x < 1 y θ ∈ Ω = {θ : 0 < θ < ∞}. Sea X1, . . . , Xn denota una muestra aleatoria de tamaño n de esta distribución. (a) Dibuje el pdf de X para (i) θ = 1/2, (ii) θ = 1 y (iii) θ = 2. (b) Demuestre que ˆθ = −n/ ln (Qn i=1 Xi) es el estimador de máxima verosimilitud de θ. (c) Determine el primer momento teórico (es decir, la media)

Sea f(x; θ) = θxθ−1 para 0 < x < 1 y θ ∈ Ω = {θ : 0 < θ < ∞}. Sea X1, . . . , Xn denota una muestra aleatoria de tamaño n de esta distribución. (a) Dibuje el pdf de X para (i) θ = 1/2, (ii) θ = 1 y (iii) θ = 2. (b) Demuestre que ˆθ = −n/ ln (Qn i=1 Xi) es el estimador de máxima verosimilitud de θ. (c) Determine el primer momento teórico (es decir, la media) de esta distribución. (d) Para cada uno de los siguientes tres conjuntos de diez observaciones de la distribución dada, calcule los valores de la estimación de máxima verosimilitud y la estimación del método de los momentos de θ: (i) 0,0256 0,3051 0,0278 0,8971 0,0739 0,3191 0,7379 0,3671 0,9763 0,0102 (ii) 0,9960 0,3125 0,4374 0,7464 0,8278 0,9518 0,9924 0,7112 0,2228 0,8609 (iii) 0,4698 0,3675 0,5991 0,9513 0,6049 0,9917 0,1 551 0,0710 0,2110 0,2154