Pregunta: Sea f una función definida para todo número real. Consideremos las funciones:fpar =f(x)+f(-x)2,fimp =f(x)-f(-x)2a) Muestre que fpar  es una función par y fimp  es una función impar.b) Muestre que f=fpar +fimp .c) Supongamos que f tiene periodo T=2p. Muestre que fpar  y fimp  tienen periodo T=2p.d) Muestre que fpar=a02+∑n=1∞ancos(nπpx) y

Sea f una funci$ó$n definida para todo n$ú$mero real. Consideremos las funciones:

$f_{\text{p}\text{a}\text{r}}=\frac{f(x)+f(-x)}{2},f_{\text{i}\text{m}\text{p}}=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

a$)$ Muestre que $f_{\text{p}\text{a}\text{r}}$ es una funci$ó$n par y $f_{\text{i}\text{m}\text{p}}$ es una funci$ó$n impar.

b$)$ Muestre que $f=f_{\text{p}\text{a}\text{r}}+f_{\text{i}\text{m}\text{p}}.$

c$)$ Supongamos que $f$ tiene periodo $T=2p.$ Muestre que $f_{\text{p}\text{a}\text{r}}$ y $f_{\text{i}\text{m}\text{p}}$ tienen periodo $T=2p.$

d$)$ Muestre que $f_{\text{p}\text{a}\text{r}}=\frac{a_0}{2}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_{n}cos(\frac{n\pi }{p}x)$ y $f_{\text{i}\text{m}\text{p}}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_{n}sen(\frac{n\pi }{p}x).$

please solve from A to D