Pregunta: Se tiene una variable aleatoria x∼exp(λ), es decir, f(x,λ)=λe-λxI(0,∞)(x).El problema es encontrar el estimador insesgado y de mínima varianza para el parámetro λ, a partir deuna muestra aleatoria X=(x1,x2,...,xn) de observaciones de x.Para resolver este ejercicio se requiere en algún momento aplicar dos resultados de probabilidad, así quelo primero que

Se tiene una variable aleatoria $x\sim exp(\lambda ),$ es decir, $f(x,\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}{I}_{(0,\infty )}(x).$

El problema es encontrar el estimador insesgado y de m$í$nima varianza para el par$á$metro $\lambda ,$ a partir de

una muestra aleatoria X$=(x_1,x_2,...,x_n)$ de observaciones de $x.$

Para resolver este ejercicio se requiere en alg$ú$n momento aplicar dos resultados de probabilidad, as$í$ que

lo primero que hay que hacer es lo siguiente,

Sea $W\sim Gama(\alpha ,\beta ),$ obtener la distribuci$ó$n de $U=\frac{1}{W}($Calcular $F_u$ y despu$é$s $f_u)$

Si $x_i\sim exp(\lambda ),i=1,2,$dots,$n$ son variables aleatorias independientes, encontrar la distribuci$ó$n de

$Y={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i($Usar la funci$ó$n generadora de momentos$)$

Ahora hay que obtener el estad$í$stico suficiente y completo para la distribuci$ó$n exponencial. $($Usar el

Teorema de Factorizaci$ó$n$)$

Obtener el estimador del par$á$metro $\lambda$ usando el m$é$todo de maxima verosimilitud