Resuelva para f(t) la ecuación integral:f(t)-12t2=∫0tf(t-u)e-udu

Using the property of definite integral as

Resuelto Resuelva para f(t) la ecuación

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Pregunta: Resuelva para f(t) la ecuación integral:f(t)-12t2=∫0tf(t-u)e-udu
Resuelva para $f (t)$ la ecuaci $ó$ n integral:
$f (t) - \frac{1}{2} t^{2} = \int_{0}^{t} f (t - u) e^{- u} d u$
Hay 3 pasos para resolver este problema.
Solución
Paso 1

$\begin{aligned} f (t) - \frac{t^{2}}{2} & = \int_{0}^{t} f (t - u) e^{- u} d u \end{aligned}$

$\begin{aligned} I & = \int_{0}^{t} f (t - u) e^{- u} d u \end{aligned}$

$\begin{aligned} t - u & = k \Rightarrow - d u = d k \end{aligned}$

$\begin{aligned} u = 0 \Rightarrow k = t \end{aligned}$

$\begin{aligned} u = t \Rightarrow k & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{t} f (t - u) e^{- u} d u & = \int_{t}^{0} f (k) e^{- (t - k)} (- d k) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{t} f (t - u) e^{- u} d u & = - \int_{t}^{0} f (k) e^{- t} e^{k} d k \end{aligned}$

Using the property of definite integral as
$\begin{aligned} \int_{a}^{b} f (x) d x & = - \int_{b}^{a} f (x) d x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{t} f (t - u) e^{- u} d u & = e^{- t} \int_{0}^{t} f (k) e^{k} d k \end{aligned}$

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