Pregunta: Realiza las partes 1 y 2 del proyecto para estudiantes (Constante Euler, STUDENT PROJECT, Euler's Comstant)

Constante de Euler Hemos demostrado que la serie armónica ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ diverge. Aquí investigamos el comportamiento de las sumas parciales $S_k$ como $k\to \infty$. En particular, mostramos que se comportan como la función logarítmica natural demostrando que existe una constante $\gamma$ tal que ${\sum }_{n=1}^k\frac{1}{n}-\ln k\to \gamma \text{ a medida que }k\to \infty$ Esta constante $\gamma$ se conoce como la constante de Euler. 1. Supongamos que $T_k={\sum }_{n=1}^k\frac{1}{n}-\ln k$. Evalúe $T_k$ para varios valores de $k$. 2. Para $T_k$ tal y como se define en la parte 1. demuestre que la secuencia $\left\{T_k\right\}$ converge mediante los siguientes pasos a. Demuestre que la secuencia $\left\{T_k\right\}$ es monótona decreciente. (Pista: Demuestre que $\ln (1+1/k>1/(k+1)))$ b. Demuestre que la secuencia $\left\{T_k\right\}$ está delimitada por debajo de cero. (Pista: Exprese $\ln k$ como integral definida). c. Utilice el teorema de convergencia monótona para concluir que la secuencia $\left\{T_k\right\}$ converge. El límite $\gamma$ es la constante de Euler.