Pregunta: Me puedes explicar esto paso a paso para entender que estan haciendo? Si una curva tiene una ecuación de la forma f(θ) en coordenadas polares, y si f esde la clase C1 en un intervalo a,b, demuestra que la longitud de la gráfica de fentre θ=a y θ=b está dada por la integral:s=∫ab[f(θ)]2+[f'(θ)]22dθDicha curva se puede parametrizar con la

Me puedes explicar esto paso a paso para entender que estan haciendo?

Si una curva tiene una ecuaci$ó$n de la forma $f(\theta )$ en coordenadas polares, y si $f$ es

de la clase $C^1$ en un intervalo $a,b,$ demuestra que la longitud de la gr$á$fica de $f$

entre $\theta =a$ y $\theta =b$ est$á$ dada por la integral:

$s={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}}\sqrt[\phantom{2}]{[f(\theta ){]}^2+[f^{\text{'}}(\theta ){]}^2}d\theta$

Dicha curva se puede parametrizar con la funci$ó$n

$\gamma (\theta )=(f(\theta )cos\theta ,f(\theta )sen\theta ).$

Por lo tanto, la longitud del arco entre $\theta =a$ y $\theta =b$ es

${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}}||{\gamma }^{\text{'}}(\theta )||d\theta ={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}}||(f^{\text{'}}(\theta )cos\theta -f(\theta )sen\theta ,f^{\text{'}}(\theta )sen\theta +f(\theta )cos\theta )||d\theta$

$={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}}\sqrt[\phantom{2}]{[f^{\text{'}}(\theta )cos\theta -f(\theta )sen\theta {]}^2+[f^{\text{'}}(\theta )sen\theta +f(\theta )cos\theta {]}^2}d\theta$

$={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}}\sqrt[\phantom{2}]{f^{\text{'}}(\theta {)}^{2}co{s}^2\theta +f(\theta {)}^{2}se{n}^2\theta +f^{\text{'}}(\theta {)}^{2}se{n}^2\theta +f(\theta {)}^{2}co{s}^2\theta }d\theta$

$={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}}\sqrt[\phantom{2}]{f^{\text{'}}(\theta {)}^2+f(\theta {)}^2}d\theta$