Proof Lemma 3.3.1: If f(x∣θ) satisfies dθdEθ(∂θ∂logf(X∣θ))=∫∂θ∂[(∂θ∂logf(x∣θ))f(x∣θ)]dx (true for an exponential family), then Eθ(∂θ∂logf(X∣θ))2=−Eθ(∂θ2∂2logf(X∣θ))

Resuelto Proof Lemma 3.3.1: If f(x∣θ) satisfies

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Pregunta: Proof Lemma 3.3.1: If f(x∣θ) satisfies dθdEθ(∂θ∂logf(X∣θ))=∫∂θ∂[(∂θ∂logf(x∣θ))f(x∣θ)]dx (true for an exponential family), then Eθ(∂θ∂logf(X∣θ))2=−Eθ(∂θ2∂2logf(X∣θ))

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Paso 1
SOLUTION:

Let us consider

$\begin{matrix} \begin{aligned} \frac{d^{2}}{d θ^{2}} \log f (X ∣ θ) & = \frac{d}{d θ}) \frac{f^{'} (x ∣ θ)}{f (x ∣ θ)} w h e r e, f^{'} (x ∣ θ) = \frac{d}{d θ} f (x ∣ θ) \\ = \frac{f^{″} (x ∣ θ) f (x ∣ θ) - {[f^{'} (x ∣ θ)]}^{2}}{f^{2} (x ∣ θ)} \end{aligned} \end{matrix}$

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Proof Lemma 3.3.1: If

f (x ∣ θ)

satisfies

\frac{d}{d θ} E_{θ} (\frac{\partial}{\partial θ} lo g f (X ∣ θ)) = \int \frac{\partial}{\partial θ} [(\frac{\partial}{\partial θ} lo g f (x ∣ θ)) f (x ∣ θ)] d x

(true for an exponential family), then

E_{θ} (\frac{\partial}{\partial θ} lo g f (X ∣ θ))^{2} = - E_{θ} (\frac{\partial ^{2}}{\partial θ ^{2}} lo g f (X ∣ θ))