Pregunta: Problema Caballero, Ejercicio 3.3.8] El objetivo de este ejercicio es demostrar quetodos los estados de una misma clase de comunicación tienen el mismo período. Supongamoslo contrario. Sean x,y estados de la cadena tales que xharry. Supongamos que el período dex es c≥1, que el período de y es d≥1 y que

Problema Caballero, Ejercicio $3\mathrm{.}3\mathrm{.}8]$ El objetivo de este ejercicio es demostrar que

todos los estados de una misma clase de comunicaci$ó$n tienen el mismo per$í$odo$.$ Supongamos

lo contrario. Sean $x,y$ estados de la cadena tales que xharry. Supongamos que el per$í$odo de

$x$ es $c\ge 1,$ que el per$í$odo de $y$ es $d\ge 1$ y que $k,m,l>0P_{x,y}^{(k)}>0,P_{y,x}^{(m)}>0,P_{y,y}^{(l)}>0.P_{x,x}^{(k+m)}\ge P_{x,y}^{(k)}{P}_{y,x}^{(m)}$

$P_{x,x}^{(k+l+m)}\ge P_{x,y}^{(k)}{P}_{y,y}^{(l)}{P}_{y,x}^{(m)}d.d.$

$(a)$ Justifica que existen enteros $k,m,l>0$ tales que

$P_{x,y}^{(k)}>0,P_{y,x}^{(m)}>0,P_{y,y}^{(l)}>0.$

$(b)$ Demuestra $y$ utiliza las siguientes desigualdades

$P_{x,x}^{(k+m)}\ge P_{x,y}^{(k)}{P}_{y,x}^{(m)}$

$P_{x,x}^{(k+l+m)}\ge P_{x,y}^{(k)}{P}_{y,y}^{(l)}{P}_{y,x}^{(m)}$

para obtener una contradicci$ónal$ supuesto que $d.$