Pregunta: Problema adicionalProblema * (Rincón, problema 207). Sea xn=ξ1+dots+ξn una caminata aleatoriasimple sobre Z y que inicia en el origen. Supongamos que (ξn)n≥1 es una sucesión de variablesaleatorias independientes e idénticamente distribuidas conP(ξ1=1)=p,P(ξ1=-1)=1-p=q.Sean ayb dos enteros positivos fijos. Definimos el tiempo de

Problema adicional

Problema $*($Rinc$ó$n$,$ problema $207).$ Sea $x_n={\xi }_1+$dots$+{\xi }_n$ una caminata aleatoria

simple sobre $Z$ y que inicia en el origen. Supongamos que $({\xi }_n{)}_n\ge 1$ es una sucesi$ó$n de variables

aleatorias independientes e id$é$nticamente distribuidas con

$P({\xi }_1=1)=p,P({\xi }_1=-1)=1-p=q.$

Sean ayb dos enteros positivos fijos. Definimos el tiempo de paro

$\tau =$min$\{n\ge 1|x_n=-aóx_n=b\}.$

$($a$)$ Usa el teorema de paro opcional y el Problema $2($en esta tarea$)$ para demostrar que

$P(x_{\tau }=b)=\frac{1-(\frac{q}{p}{)}^a}{1-(\frac{q}{p}{)}^{a+b}}$

$P(x_{\tau }=-a)=\frac{1-(\frac{p}{q}{)}^b}{1-(\frac{p}{q}{)}^{a+b}}$

$($b$)$ Demuestra que

$E(\tau )=\{\begin{array}{ccc}ab& si& p=q\\ \frac{b}{p-q}-\frac{a+b}{p-q}*\frac{1-(\frac{p}{q}{)}^b}{1-(\frac{p}{q}{)}^{a+b}}& si& p\ne q\end{array}$