Pregunta: Problema 1: Sea Ω el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y sea F el σ-álgebra sobre Ω generada por los conjuntos {1, 2, 3}, {4.5} y {6}. (1) Enumerar todos los subconjuntos de Ω que están en F. (2) Consideramos una medida de probabilidad P sobre el espacio medible (Ω,F). Denotamos por p, q, r, las respectivas probabilidades de los conjuntos {1, 2, 3}, {4.5} y {6}.

Problema 1: Sea Ω el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y sea F el σ-álgebra sobre Ω generada por

los conjuntos {1, 2, 3}, {4.5} y {6}.

(1) Enumerar todos los subconjuntos de Ω que están en F.

(2) Consideramos una medida de probabilidad P sobre el espacio medible (Ω,F). Denotamos por

p, q, r, las respectivas probabilidades de los conjuntos {1, 2, 3}, {4.5} y {6}. Determina el

probabilidades de todos los subconjuntos de Ω que están en F.

(3) Encuentre las tres desigualdades y la igualdad que debe ser satisfecha por los valores de

p, q, r.

(4) ¿Qué podemos decir acerca de la probabilidad P({1, 2, 3, 4})?

(5) Consideramos las funciones X e Y de Ω a R, dadas por

X(1) = 1,X(2) = 1,X(3) = 1,X(4) = 3,X(5) = 3,X(6) = 4, Y (1) = 1, Y (2) = 1, Y (3) = 1, Y (4) = 3, Y (5) = 4, Y (6) = 5.

¿Es X una variable aleatoria con respecto a la σ-álgebra F? La misma pregunta para Y.

(6) Si X es una variable aleatoria, calcule su expectativa bajo la medida de probabilidad P,

en función de p, q, r. La misma pregunta para Y.

Problema 2: Consideramos dos variables aleatorias de valor real X, Y definidas en (Ω, F, P), donde Ω = {1,2,3,4}, F contiene todos los subconjuntos de Ω y P(k) = ck para todo k ∈ Ω, siendo c una constante de normalización. Denotamos por X e Y dos funciones de Ω a R, dadas por X(k) = k y Y (k) = 1/k, para todo k ∈ Ω.

(1) Determine el valor de la constante c.

(2) ¿Son X e Y variables aleatorias con respecto a la σ-álgebra F?

(3) Si la respuesta a la pregunta anterior es positiva, calcule la expectativa y la

la varianza de X, la expectativa y la varianza de Y, la covarianza de X e Y.

Problema 3: Consideramos una variable aleatoria ω uniformemente distribuida en [0, 1]. Si ω < 1/2, ganamos ω dólar. Si ω = 1/2, ganamos un millón de dólares. Si ω > 1/2, no ganamos nada.

(1) Describe la distribución de probabilidad del dinero que ganamos, en términos de una medida de Dirac y la medida de Lebesgue.

(2) ¿Cuál es la probabilidad de ganar menos de 1/4 de dólar?

(3) ¿Cuál es la probabilidad de ganar más de 1 dólar?

(4) ¿Cuál es la expectativa del dinero que ganamos?

(5) ¿Cuál es su varianza?

Problema 4: Consideramos un modelo binomial, donde los parámetros (con la notación del

supuesto) son T = 3, r = 0,1, u = 0,2, d = 0,2, p = 1/2, S0 = 100. 1

(1) ¿Cuál es el valor del bono en el momento 2?

(2) ¿Cuál es la probabilidad de que el valor del precio de la acción en el momento 2 sea mayor que su

¿valor inicial?

(3) ¿Cuál es la probabilidad de que el valor del precio de la acción en el momento 3 sea mayor que su

¿valor inicial?

(4) ¿Cuál es la probabilidad condicional de que el valor del precio de las acciones aumente entre

tiempo 2 al tiempo 3, dado que ha aumentado entre el tiempo 0 y el tiempo 2?

(5) ¿Cuál es la expectativa condicional del precio de la acción en el momento 3, dado que la acción

el precio ha aumentado del tiempo 0 al tiempo 2?