Pregunta: Problema 1 (20 puntos). Las distribuciones normales se utilizan para aproximar la distribución muestral de la proporción muestral ˆp cuando el tamaño de la muestra es grande (es decir, cuando np ≥ 10, n(1 − p) ≥ 10). De manera similar, podemos usar una distribución normal para aproximar una distribución binomial cuando el tamaño de la muestra es grande, como

Problema 1 (20 puntos).

Las distribuciones normales se utilizan para aproximar la distribución muestral de la proporción muestral ˆp cuando el tamaño de la muestra es grande (es decir, cuando np ≥ 10, n(1 − p) ≥ 10). De manera similar, podemos usar una distribución normal para aproximar una distribución binomial cuando el tamaño de la muestra es grande, como se muestra en las notas de clase. Sin embargo, las precisiones de estas aproximaciones no están claras (es decir, ¿qué tan cerca están las respuestas aproximadas de las respuestas exactas si hay respuestas exactas disponibles)? Aquí, se le pide que evalúe las precisiones de las aproximaciones normales en varias situaciones, con base en una variable aleatoria X que sigue la distribución binomial B(n, p). Puede obtener fácilmente probabilidades binomiales exactas del software R con el comando "pbinom" (algunos libros también dan una tabla de probabilidad binomial exacta. Calcular las probabilidades binomiales exactas a mano también es factible, aunque un poco tedioso). Para las siguientes preguntas, puede obtener probabilidades binomiales exactas usando cualquiera de estos enfoques.

(a) (12 puntos). Calcule las siguientes probabilidades utilizando tanto la distribución binomial X ∼ B(n, p) (que da una respuesta exacta) como su aproximación normal X ∼ N(np, p np(1 − p)) (que da una respuesta aproximada), y compare las dos respuestas para ver si están cerca o no:

(i) elija n = 10 y p = 0.2, y luego calcule P(X ≤ 3) usando ambos métodos;
(ii) elija n = 10 yp = 0.4, y luego calcule P(X ≤ 3) usando ambos métodos;
(iii) elija n = 50 yp = 0.2, y luego calcule P(X ≤ 8) usando ambos métodos;
(iv) elija n = 50 yp = 0.4, y luego calcule P(X ≤ 8) usando ambos métodos;

Resuma los resultados anteriores en una tabla y establezca sus conclusiones en no más de tres oraciones (es decir, en qué casos las aproximaciones normales parecen más precisas, las respuestas exactas y las respuestas aproximadas son las más cercanas).

(b) (8 puntos). La proporción muestral ˆp se puede definir como ˆp = X/n, donde X ∼ B(n, p). Para los cuatro casos (i)–(iv) en la pregunta (a), calcule las probabilidades P(ˆp ≤ 0.3) utilizando aproximaciones normales (es decir, ˆp ∼ N(p, pp(1 − p)/n)). Intuitivamente (o en base a lo que ha observado en (a)), ¿cuál(es) aproximación(es) cree que pueden ser las más precisas? (Nota: la proporción muestral ˆp no tiene una distribución exacta disponible, por lo que debemos usar aproximaciones normales).