Pregunta: Pregunta 3. Una función f es par si f(-x)=f(x) para todo xinR, e impar si f(-x)=-f(x) para todo xinR.(i) Supón A>0 y que f es par. Divide el rango de integración en dos intervalos: -A,0 y 0,A. Luego, muestra que∫-AAf(x)dx=2∫0Af(x)dx(ii) Supón que A>0 y que f es impar. Con la mísma lógica de (i) muestra que∫-AAf(x)dx=0(iii) Utiliza el resultado

Pregunta $3.$ Una funci$ó$n $f$ es par si $f(-x)=f(x)$ para todo xinR, e impar si $f(-x)=-f(x)$ para todo xinR.

$($i$)$ Sup$ó$n $A>0$ y que $f$ es par. Divide el rango de integraci$ó$n en dos intervalos: $-A,0$ y $0,A.$ Luego, muestra que

${\displaystyle \underset{-A}{\overset{A}{\int }}}f(x)dx=2{\displaystyle \underset{0}{\overset{A}{\int }}}f(x)dx$

$($ii$)$ Sup$ó$n que $A>0$ y que $f$ es impar. Con la m$í$sma l$ó$gica de $($i$)$ muestra que

${\displaystyle \underset{-A}{\overset{A}{\int }}}f(x)dx=0$

$($iii$)$ Utiliza el resultado que obtuviste en $($ii$)$ para mostrar que

${\displaystyle \underset{-A}{\overset{\infty }{\int }}}x{e}^{-\frac{x^2}{e}}dx=0$

$($iv$)$ Utiliza otra vez el resultado que obtuviste en $($ii$)$ para mostrar que

${\displaystyle \underset{-A}{\overset{\infty }{\int }}}{x}^{3}dx=0$

$¿$Ser$í$a correcto inferir que

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}{x}^{3}dx=0?$