Pregunta: Pregunta 2 (Gobierno y crecimiento económico). Considera el caso de una economía en la que los hogares tienenuna función de utilidad intertemporal tipo CES que depende del consumo de dos tipos de bienes: galletas c y panb :U0=∫0∞e-(ρ-n)t(cβb1-β)1-θ-11-θdtdonde 0<β<1,n>0 es la tasa de crecimiento de la población, ρ>0 es la tasa de descuento y θ>0 es

Pregunta $2($Gobierno y crecimiento econ$ó$mico$).$ Considera el caso de una econom$í$a en la que los hogares tienen

una funci$ó$n de utilidad intertemporal tipo CES que depende del consumo de dos tipos de bienes: galletas $c$ y pan

$b$ :

$U_0={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{e}^{-(\rho -n)t}\frac{(c^{\beta }{b}^{1-\beta }{)}^{1-\theta }-1}{1-\theta }dt$

donde $0<\beta <1,n>0$ es la tasa de crecimiento de la poblaci$ó$n$,\rho >0$ es la tasa de descuento y $\theta >0$ es el

coeficiente de aversi$ó$n al riesgo. Existe una firma representativa $($competitiva$)$ que tiene acceso a una funci$ó$n de

producci$ó$n Cobb$-$Douglas,

$y=A{k}^{\alpha },$

donde $0<\alpha <1.$ Las galletas son el numerario, mientras que cada unidad de pan tiene un precio de $p.$ Con esto

en mente, la restricci$ó$n presupuestaria del hogar puede escribirse como

$k^{\dot{}}=A{k}^{\alpha }-c-pb-(\delta +n)k,$

donde $\delta$ es la tasa de depreciaci$ó$n constante del capital.

$($i$)$ Escribe el problema de optimizaci$ó$n del hogar y plantea el Hamiltoneano.

$($ii$)$ Encuentra las condiciones de primer orden, incluida la condici$ó$n de transversalidad. Escr$í$belas de tal manera

que ninguna ecuaci$ó$n dependa de los multiplicadores.

$($iii$)$ Escribe la relaci$ó$n $ó$ptima entre el consumo de galletas y pan.

$($iv$)$ Encuentra ecuaciones para $c^{\dot{}}$ y $k^{\dot{}}($como funciones de $c$ y $k).$ Con ellas, encuentra el estado estacionario para

$c,k$ y $b.$

$($v$)$ Describe el comportamiento din$á$mico de $c,k$ y $b$ a lo largo del tiempo. Para ello, utiliza un diagrama de fase.

Ten en cuenta que el diagrama de fase s$ó$lo depende de $c$ y $k.$