Pregunta: Pregunta 1. Considere la ecuación diferencial parcial de segundo orden ∂ 2u ∂t2 = c 2 ∂ 2u ∂x2 (1), para una función desconocida de valor real u = u(t, x), donde t representa el tiempo, x representa un punto en el espacio, y c > 0 es una constante. 1. Para cualquier función diferenciable dos veces F = F(x) y G = G(x), demuestre que u(t, x) = F(x + ct) + G(x

Pregunta 1. Considere la ecuación diferencial parcial de segundo orden ∂ 2u ∂t2 = c 2 ∂ 2u ∂x2 (1), para una función desconocida de valor real u = u(t, x), donde t representa el tiempo, x representa un punto en el espacio, y c > 0 es una constante.

1. Para cualquier función diferenciable dos veces F = F(x) y G = G(x), demuestre que u(t, x) = F(x + ct) + G(x − ct) satisface (1).

Las ecuaciones diferenciales parciales como (1) a menudo se resuelven como problemas de valor inicial, donde se proporciona la descripción inicial de la función desconocida y su derivada temporal en cada punto del espacio. En este sentido, supongamos que se nos da u(0, x) = g(x) y ∂u/∂t (0, x) = h(x), para algunas funciones dadas g y h.

2. Suponga que u(t, x) = F(x + ct) + G(x − ct) para algunas funciones F y G, como se describe en el problema 1.1. Si u = u(t, x) resuelve el problema de valor inicial descrito anteriormente, demuestre que g(x) = F(x) + G(x) y h(x) = cF' (x) − cG' (x) .