Pregunta: ¿Podría explicar la solución de esta pregunta paso a paso? Suponga que las bolas se distribuyen sucesivamente entre 8 urnas, con la misma probabilidad de que cada bola se coloque en cualquiera de estas urnas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 3 urnas no vacías después de que se hayan distribuido 9 bolas? Solución: Si hacemos que Xn sea el

¿Podría explicar la solución de esta pregunta paso a paso?

Suponga que las bolas se distribuyen sucesivamente entre 8 urnas, con la misma probabilidad de que cada bola se coloque en cualquiera de estas urnas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 3 urnas no vacías después de que se hayan distribuido 9 bolas?

Solución: Si hacemos que Xn sea el número de urnas no vacías después de que se hayan distribuido n bolas, entonces Xn, n 0 es una cadena de Markov con estados 0, 1, . . . , 8 y
probabilidades de transición
Pi,i = i/8 = 1 − Pi,i+1, i = 0, 1, . . . , 8
La probabilidad deseada es P ⁹ _0,3 =P ⁸ _1,3 donde se sigue la igualdad porque P _0,1 =1. Ahora, comenzando con 1 urna ocupada, si hubiéramos querido determinar
toda la distribución de probabilidad del número de urnas ocupadas después de haber distribuido 8 bolas adicionales, necesitaríamos considerar la matriz de probabilidad de transición con los estados 1, 2, . . . , 8. Sin embargo, debido a que solo requerimos la probabilidad, comenzando con una sola urna ocupada, de que haya 3 urnas ocupadas después de que se hayan distribuido 8 bolas adicionales, podemos aprovechar el hecho de que el estado de la cadena de Markov no puede disminuir a colapsar todos los estados 4, 5, . . . , 8 en un solo estado 4 con la interpretación de que el estado es 4 siempre que cuatro o más de las urnas estén ocupadas. En consecuencia, solo necesitamos determinar la probabilidad de transición de ocho pasos P ⁸ _1,3 de la cadena de Markov con los estados 1, 2, 3, 4 que tienen una matriz de probabilidad de transición P dada por

Elevando la matriz precedente a la potencia 4 se obtiene la matriz P ⁴ dada por

Por lo tanto,
P8 _1,3 = 0,0002 × 0,2563 + ^0,0256 × 0,0952 + 0,2563 × 0,0198+ 0,7178 × 0 = 0,00756