Pregunta: Dado un polinomio f(x)=a0+a1x+a2x2+….+an−1xn−1+anxn œn coeficientes reales yan>0. Si para x=c (c real), el polinomio f(x) y todas sus derivadas f(c)>0,f′(c)>0,f′′(c)>0….f(n)(c)>0 toman valores positivos, entonces el valor c es una cota superior de las raíces positivas de f(x). Justificación: La serie de Taylor alrededor de x=c para la función f(x) es:

Dado un polinomio $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots .+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n$ œn coeficientes reales $y{a}_n>0$. Si para $x=c$ (c real), el polinomio $f(x)$ y todas sus derivadas $\mathrm{f}(\mathrm{c})>0,{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})>0,{\mathrm{f}}^{\prime \prime }(\mathrm{c})>0\dots .{\mathrm{f}}^{(\mathrm{n})}(\mathrm{c})>0$ toman valores positivos, entonces el valor c es una cota superior de las raíces positivas de $\mathrm{f}(\mathrm{x})$. Justificación: La serie de Taylor alrededor de $\mathrm{x}=\mathrm{c}$ para la función $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ es: $f(x)=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime }(c)}{2!}(x-c{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n+..$ en notación simplificada $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(c)}{n}(x-c{)}^n\text{ Serie de Taylor }$ Obsérvese, que $\mathrm{x}\ge \mathrm{c}$ y que si se cumple que $f(x)=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime }(c)}{2!}(x-c{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n+..$ en notación simplificada $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(c)}{n}(x-c{)}^n\text{ Serie de Taylor }$ Obsérvese, que $\mathrm{x}\ge \mathrm{c}$ y que si se cumple que $f(c)>0,f^{\prime }(c)>0,..f^{(n)}(c)>0$, el segundo miembro de la igualdad anterior es estrictamente positivo y por tal motivo ningún valor de $\mathrm{x}\ge \mathrm{C}$, puede ser raíz de $\mathrm{f}(\mathrm{x})$. Para encontrar el valor de $\mathrm{x}=\mathrm{c}$ que cumpla las condiciones pedidas se puede proceder de la siguiente manera: La derivada ${\mathrm{f}}^{(\mathrm{n})}(\mathrm{x})={\mathrm{nla}}_{\mathrm{n}}$ es un numero positivo, lo cual implica que ${\mathrm{f}}^{(\mathrm{n}-1)}(\mathrm{x})>0$ es una función creciente de $\mathrm{x}$ por lo tanto existe un número