Pregunta: PASO A PASORevisa el siguiente ejemplo del autor Zill (2008). Y diseña un modelo matemáticopara la temperatura de un pastel mientras está dentro del horno con base en lossiguientes supuestos: en t=0 la mezcla del pastel está a temperatura ambiente de70°F; el horno no está precalentado , de manera que cuando t=0 y la mezcla delpastel se coloca en el

PASO A PASO

Revisa el siguiente ejemplo del autor Zill $(2008).$ Y dise$ñ$a un modelo matem$á$tico

para la temperatura de un pastel mientras est$á$ dentro del horno con base en los

siguientes supuestos: en $t=0$ la mezcla del pastel est$á$ a temperatura ambiente de

$70°F$; el horno no est$á$ precalentado $,$ de manera que cuando $t=0$ y la mezcla del

pastel se coloca en el horno, la temperatura en el interior de $é$ste es tambi$é$n de

$70°F$; la temperatura del horno se incrementa linealmente fasta $t=4$min, cuando

se llega a la temperatura deseada de $300°F$; la temperatura del horno es una

constante de $300°$ cuando $t\ge 4.$ Y usa la transformada de Laplace para resolver el

problema de valor inicial que se te proporciona

Ejemplo $4.$ Enfriamiento de un pastel

Cuando un pastel se retira del horno, tiene una temperatura de $300°F.$ Tres minutos m$á$s

tarde, su temperatura es de $200°F.¿$Cu$á$nto tiempo le llevar$á$ al pastel enfriarse hasta

llegar a la temperatura ambiente de $70°F?$

Soluci$ó$n En $(3)$ hacemos la identificaci$ó$n $T_m=70.$ Entonces debemos resolver el

siguiente problema de valor inicial

$\frac{dT}{dt}=k(T-70),T(0)=300$

y determinar el valor de $k$ de manera que $T(3)=200.$

La ecuaci$ó$n $(4)$ es tanto lineal como separable. Al separar las variables,

$\frac{dT}{T-70}=kdt$

se tiene $ln|T-70|=kt+c_1,$ y por lo tanto $T=70+c_2{e}^{kt}.$ Cuando $t=0,T=300,$ de

manera que $300=70+c_2$ da $c_2=230,$ y$,$ en consecuencia, $T=70+230e^{kt}.$ Por $ú$ltimo$,$

la medici$ó$n $T(3)=200$ Ileva a $e^{3k}=\frac{13}{23}$ o $k=\frac{1}{3}ln(\frac{13}{23})=-0\mathrm{.}19018.$ As$í,$

$T(t)=70+230e^{-0\mathrm{.}19018t}$

Observamos que $(5)$ no proporciona una soluci$ó$n finita para $T(t)=70$ dado que l$í{}_{}$mt→∞

$T(t)=70.$ Sin embargo, de manera intuitiva esperamos que el pastel alcance la tempe$-$

ratura ambiente despu$é$s de un razonablemente largo periodo. $¿$Cu$á$nto es "largo"? Por

supuesto, no debemos preocuparnos por el hecho de que el modelo $(4)$ no se ajuste a

nuestra intuici$ó$n$.$ Las partes $a)$ y $b)$ de la figura $2\mathrm{.}37$ muestran claramente que el pastel

estar$á$ cerca de la temperatura ambiente en una media hora.