Pregunta: (a) Partiendo de la ecuacion diferencial de Bessel y un limite apropiado verifica la siguiente relación∫0∞ρJm(kρ)Jm(k'ρ)dρ=1kδ(k'-k)(b) Obtenga la siguiente expansión1|x-x'|=∑m=-∞∞∫0∞dkeı(φ-φ')Jm(kρ)Jm(kρ')e-k(z?)>-z?<(c) Para los limites apropiados, probar las siguientes

 $($a$)$ Partiendo de la ecuacion diferencial de Bessel y un limite apropiado verifica la siguiente relaci$ó$n

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}\rho J_m(k\rho )J_m(k^{\text{'}}\rho )d\rho =\frac{1}{k}\delta (k^{\text{'}}-k)$

$($b$)$ Obtenga la siguiente expansi$ó$n

$\frac{1}{|x-x^{\text{'}}|}={\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}dk{e}^{ı(\phi -{\phi }^{\text{'}})}{J}_m(k\rho )J_m(k{\rho }^{\text{'}})e^{-k(z_{?})}>-z_{?}<$

$($c$)$ Para los limites apropiados, probar las siguientes expansiones

$\frac{1}{\sqrt[\phantom{2}]{{\rho }^2+z^2}}={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{e}^{-k|z|}{J}_0(k\rho )dk$

$J_0(k\sqrt[\phantom{2}]{{\rho }^2+{\rho }^{\text{'}2}-2\rho {\rho }^{\text{'}}cos\phi })={\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }}{e}^{ı\phi }{J}_m(k\rho )J_m(k{\rho }^{\text{'}})$

$e^{ık\rho cos\phi }={\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }}{i}^m{e}^{ı\phi }{J}_m(k\rho )$

$($d$)$ A partir del ultimo resultado obtenga una representacion integral de la funcion de Bessel

$J_m(x)=\frac{1}{2\pi {ı}^m}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}}{e}^{ıx*cos\phi -ım\phi }d\phi$