Pregunta: Para este taller se tiene una muestra aleatoria tamaño n de la variable aleatoria X,X1,X2,…,Xn, en caso de que se ordene, tenemos las estadísticas de orden X(1),X(2),…,X(n). Para las cuales se tiene X(1)

Para este taller se tiene una muestra aleatoria tamaño $n$ de la variable aleatoria $X,X_1,X_2,\dots ,X_n$, en caso de que se ordene, tenemos las estadísticas de orden $X_{(1)},X_{(2)},\dots ,X_{(n)}$. Para las cuales se tiene $X_{(1)}<X_{(2)}<\cdots <X_{(n)}$, es decir, por ejemplo $\begin{array}{l}\min \left\{X_1,X_2,\dots ,X_n\right\}=X_{(1)}\\ \max \left\{X_1,X_2,\dots ,X_n\right\}=X_{(n)}\end{array}$ Recuerde : Siempre que encuentre un estimador por el método de máxima verosimilitud, debe comprobar que es máximo. Teorema central del límite 1. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$, tal que $X\sim$ ${\chi }_{(50)}^2$. Calcular el valor aproximado de $P(49\le \bar{X}\le 51)$. Hint : 0.68 . Máxima verosimilitud 2. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$, tal que $X\sim$ $\mathrm{Gamma}(\alpha ,\beta =\theta )$, ambos parámetros positivos y $\alpha$ fijo. Determinar el estimador de máxima verosimilitud de $\theta$. Compruebe que es máximo Hint : ${\hat{\theta }}_{MLE}=\bar{X}/\alpha$. 3. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$, con densidad $f_X(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& 0<x<1,0<\theta <\infty \\ 0& \text{ E.O.C }\end{array}$