Pregunta: Para este taller se tiene una muestra aleatoria tamaño n de la variable aleatoria X,X1,X2,…,Xn, n caso de que se ordene, tenemos las estadísticas de orden X(1),X(2),…,X(n). Para las cuales se tiene X(1)

Para este taller se tiene una muestra aleatoria tamaño $n$ de la variable aleatoria $X,X_1,X_2,\dots ,X_n$, n caso de que se ordene, tenemos las estadísticas de orden $X_{(1)},X_{(2)},\dots ,X_{(n)}$. Para las cuales se tiene $X_{(1)}<X_{(2)}<\cdots <X_{(n)}$, es decir, por ejemplo $\begin{array}{l}\min \left\{X_1,X_2,\dots ,X_n\right\}=X_{(1)}\\ \max \left\{X_1,X_2,\dots ,X_n\right\}=X_{(n)}\end{array}$ 1. Siendo $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$, la densidad de $X$ es $f_X(x)$ y su distribución es $F_X(x)$. Encuentre: (a) La fórmula para la distribución del mínimo $X_{(1)}$ y la del máximo $X_{(n)}$ (b) La fórmula para la densidad del mínimo $X_{(1)}$ y la del máximo $X_{(n)}$ Hint: $f_{X(n)}(x)=n{\left[F_X(x)\right]}^{n-1}{f}_X(x)$. 2. Sea $Y=X_{(1)}$ el mínimo de una muestra aleatoria tamaño $n$, de una variable aleatoria $X$ con densidad $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-(x-\theta )}& \theta <x<\infty \\ 0& \text{ E.O.C }\end{array}$ Sea $Z_n=n(Y-\theta )$, investigue la distribución límite de $Z_n$ 3. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ y ${\sigma }^2>0$, muestre que $Y_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$ no tiene distribución límite.