Pregunta: Para el caso de la ecuación de onda hiperbólica cuya forma esd2udt2=c2d2udx2 Tiene las siguientes condiciones de contorno: condiciones de contornou(x=0,t)=0u(x=L,t)=0u(x,t=0)=f(x)dudt(x,t=0)=g(x) Haz lo siguiente: utiliza el método de separación de variables y demuestra que llegas a:1c2d2T(d)t2T=d2x(d)x2x Supongamos que esta expresión debe ser igual a una

Para el caso de la ecuaci$ó$n de onda hiperb$ó$lica cuya forma es$\frac{d^{2}u}{d{t}^2}=c^2\frac{d^{2}u}{d{x}^2}$ Tiene las siguientes condiciones de contorno: condiciones de contornou$(x=0,t)=0u(x=L,t)=0u(x,t=0)=f(x)\frac{du}{dt}(x,t=0)=g(x)$ Haz lo siguiente: utiliza el m$é$todo de separaci$ó$n de variables y demuestra que llegas a:$\frac{1}{c^2}\frac{\frac{d^{2}T}{(d)t^2}}{T}=\frac{\frac{d^{2}x}{(d)x^2}}{x}$ Supongamos que esta expresi$ó$n debe ser igual a una constante negativa, tal que y que UNA soluci$ó$n viene dada por:$u(x,t)=sin(\frac{n\pi }{L}x)(Bcos(\frac{n\pi c}{L}t)+$Dsin$(\frac{n\pi c}{L}t))$ Supongamos que la soluci$ó$n general es la suma de soluciones tales que:$u(x,t)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}sin(\frac{n\pi }{L}x)(B_{n}cos(\frac{n\pi c}{L}t)+D_{n}sin(\frac{n\pi c}{L}t)),$ utilizando la condici$ó$n de contorno $3$ y la definici$ó$n de serie de Fourier, demuestre que los coeficientes satisfacen:$B_n=\frac{2}{L}{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}}f(x)sin(\frac{n\pi }{L}x)dx$ Utilizando la condici$ó$n de contorno $4$ y la definici$ó$n de serie de Fourier, demuestre que los coeficientes satisfacen:$D_n=\frac{2}{cn\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}}g(x)sin(\frac{n\pi }{L}x)dx$ Pista para todo este problema $3$: Revise el subcap$í$tulo $11\mathrm{.}2$ del libro $2$ de Kreysig.