Mostrar que los coeficientes de la conexión Γβγα transforman bajo un cambio de coordenadasxα'=xα'(x) conforme a la siguiente relación:Γβ'γ'α'=delxα'delxαdelxβdelxβ'delxγdelxγ'Γβγα+delxα'delxαdel2xαdelxβ'delxγ'.

Definición símbolo de Christoffel Recordemos que: Para una transformación x^(alpha')=x^(alpha')(x), tenemos que:

Resuelto Mostrar que los coeficientes de la conexión Γβγα

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Pregunta: Mostrar que los coeficientes de la conexión Γβγα transforman bajo un cambio de coordenadasxα'=xα'(x) conforme a la siguiente relación:Γβ'γ'α'=delxα'delxαdelxβdelxβ'delxγdelxγ'Γβγα+delxα'delxαdel2xαdelxβ'delxγ'.
Mostrar que los coeficientes de la conexi $ó$ n $Γ_{β γ}^{α}$ transforman bajo un cambio de coordenadas
$x^{α^{'}} = x^{α^{'}} (x)$ conforme a la siguiente relaci $ó$ n:
$Γ_{β^{'} γ^{'}}^{α^{'}} = \frac{d e l x^{α^{'}}}{d e l x^{α}} \frac{d e l x^{β}}{d e l x^{β^{'}}} \frac{d e l x^{γ}}{d e l x^{γ^{'}}} Γ_{β γ}^{α} + \frac{d e l x^{α^{'}}}{d e l x^{α}} \frac{d e l^{2} x^{α}}{d e l x^{β^{'}} d e l x^{γ^{'}}} .$
Hay 3 pasos para resolver este problema.
Solución
Paso 1
Definición símbolo de Christoffel
Recordemos que:
$\begin{matrix} \begin{aligned} Γ_{β γ}^{α} & = \frac{1}{2} g^{α μ} (\frac{\partial g_{β μ}}{\partial x^{γ}} + \frac{\partial g_{μ γ}}{\partial x^{β}} - \frac{\partial g_{γ β}}{\partial x^{μ}}) \end{aligned} \end{matrix}$
Para una transformación $x^{α^{'}} = x^{α^{'}} (x)$ , tenemos que:
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