Pregunta: A) MÉTODO DEL TRAPECIOSea la función f(x) definida en el intervalo a,b que se subdivide en solo 1 intervalo I1=[a,b]. Paraaproximar la integral, se sustituye la función f(x) por una función lineal L(x) que pasa por los puntos(a,f(a)) y (b,f(b)). A partir de ello,A1) Escriba la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos como

A$)$ M$É$TODO DEL TRAPECIO

Sea la funci$ó$n $f(x)$ definida en el intervalo $a,b$ que se subdivide en solo $1$ intervalo $I_1=[a,b].$ Para

aproximar la integral, se sustituye la funci$ó$n $f(x)$ por una funci$ó$n lineal $L(x)$ que pasa por los puntos

$(a,f(a))$ y $(b,f(b)).$ A partir de ello,

A$1)$ Escriba la ecuaci$ó$n de la recta que pasa por ambos puntos como $L(x)=c_1(x-a)+c_2(x-b).$ Luego

halle $c_1$ y $c_2$ en t$é$rminos de $a,b,f(a)$ y $f(b),$ de modo que se cumpla que $L(a)=f(a)$ y $L(b)=f(b).$

A$2)$ Realice el gr$á$fico de la recta $L(x)$ superpuesta con la funci$ó$n $f(x)$ y note que, en general, la regi$ó$n

bajo la recta $L(x)$ corresponde a un trapecio. A partir de este gr$á$fico$,$ halle las bases y altura del

trapecio en t$é$rminos de $a,b,f(a)$ y $f(b).$ Nota: Asuma que $f(x)$ es una curva cualquiera, y junto a ella

ubique la recta $L(x)$ en funci$ó$n de los puntos $a,b,f(a)$ y puntos$)$

A$3)$ Integre ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}}L(x)dx,$ por integraci$ó$n directa, y verifique que la respuesta coincide con el $á$rea de un

trapecio cuyas bases y alturas fueron hallados en A$2).$

A$4)$ Si se subdivide el intervalo $a,b,$ en el que la funci$ó$n $f(x)$ est$á$ definida, para $n>2$ subintervalos

$I_j=[x_{j-1},x_j]$ de ancho $\Delta x_j=h,$ tal que $j$:$1,2$dotsn. Modifique la expresi$ó$n obtenida en A$3),$ de

tal manera que se puede aproximar la siguiente integral como el $á$rea de un trapecio en el intervalo

$[x_{j-1},x_j]$:

${\displaystyle \underset{x_{j-1}}{\overset{x_j}{\int }}}f(x)dx$~~${\displaystyle \underset{x_{j-1}}{\overset{x_j}{\int }}}{L}_j(x)dx$

donde $L_j(x)$ es la recta que pasa por los puntos $(x_{j-1},f(x_{j-1}))$ y $(x_j,f(x_j)),$ para $j$:$1,2$dotsn.

A$5)$ Sume el $á$rea de los trapecios calculados en A$4)$ para demostrar que la integral definida en el intervalo

$a$;$b$ se aproxima a: