Las componentes de la métrica de $ \mathbb{R}^2 $ se escriben en coordenadas cartesianas $ \{x, y\} $ como$$ g_{\muu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$Considera ahora coordenadas polares $ \{r, \theta\} $ dadas por $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $.a) Demuestra que las componentes de la métrica en coordenadas polares son$$ g'_{\muu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & r^2 \end{pmatrix}. $$Dados los vectores $ v $ y $ u $, cuyas componentes en coordenadas polares son$$ v^\mu = \left( \cos \theta, -\frac{1}{r} \sin \theta \right), \quad u^u = \left( \sin \theta, \frac{1}{r} \cos \theta \right), $$b) Calcula la norma al cuadrado del vector $ v $ en coordenadas polares.c) Calcula la norma al cuadrado del vector $ u $ en coordenadas polares.d) Calcula $ g(v, u) $ en coordenadas polares.e) Escribe a los vectores $ v $ y $ u $ en coordenadas cartesianas y repite los incisos b) a d) en cartesianas. Corrobora que obtienes los mismos resultados.

Question

Las componentes de la métrica de $ \mathbb{R}^2 $ ﻿se escriben en coordenadas cartesianas $ \{x, ﻿y\} $ ﻿como$$ ﻿g_{\muu} = \begin{pmatrix} 1 ﻿& 0 \ 0 ﻿& 1 \end{pmatrix}. $$Considera ahora coordenadas polares $ \{r, \theta\} $ ﻿dadas por $ ﻿x = ﻿r \cos \theta $, $ ﻿y = ﻿r \sin \theta $.a) ﻿Demuestra que las componentes de la métrica en coordenadas polares son$$ ﻿g'_{\muu} = \begin{pmatrix} 1 ﻿& 0 \ 0 ﻿& r^2 \end{pmatrix}. $$Dados los vectores $ ﻿v $ ﻿y $ ﻿u $, ﻿cuyas componentes en coordenadas polares son$$ ﻿v^\mu = \left( \cos \theta, -\frac{1}{r} \sin \theta \right), \quad u^u = \left( \sin \theta, \frac{1}{r} \cos \theta \right), $$b) ﻿Calcula la norma al cuadrado del vector $ ﻿v $ ﻿en coordenadas polares.c) ﻿Calcula la norma al cuadrado del vector $ ﻿u $ ﻿en coordenadas polares.d) ﻿Calcula $ ﻿g(v, ﻿u) $ ﻿en coordenadas polares.e) ﻿Escribe a los vectores $ ﻿v $ ﻿y $ ﻿u $ ﻿en coordenadas cartesianas y repite los incisos b) ﻿a d) ﻿en cartesianas. Corrobora que obtienes los mismos resultados.

Accepted Answer

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