Pregunta: La distribuci ́on de la temperatura u = u(x, t) en una varilla delgada delongitud infinita satisface la ecuaci ́on de calor∂u∂t = D∂2u∂x2, −\infty < x < \infty , t > 0 ,donde D es una constante positiva, con valores en la fronteralim x->\pm \infty x\alpha ∂\beta u∂x\beta (x, t)= 0 , \alpha , \beta = 0, 1, 2, .. . (1)En el lugar de valor inicial,

La distribuci $́$on de la temperatura u $=$ u$($x$,$ t$)$ en una varilla delgada de

longitud infinita satisface la ecuaci $́$on de calor

$\partial$u

$\partial$t $=$ D

$\partial$

$2$u

$\partial$x$2$

$,-\backslash$infty $<$ x $<\backslash$infty $,$ t $>0,$

donde D es una constante positiva, con valores en la frontera

lim x$->\backslash$pm $\backslash$infty

x

$\backslash$alpha

$\partial$

$\backslash$beta u

$\partial$x$\backslash$beta

$($x$,$ t$)$

$=0,\backslash$alpha $,\backslash$beta $=0,1,2,...(1)$

En el lugar de valor inicial, considere que u satisface la siguiente condici $́$on

de normalizaci $́$on: donde $\backslash$gamma es una constante positiva $($independiente de t$).$

a$.$ Determine la unidades de las constantes D y $\backslash$gamma $.$

b$.$ Utilizando el an $́$alisis dimensional, determine la variable de similitud $\backslash$eta $.$

c$.$ Determine la ecuaci $́$on diferencial ordinaria que satisface f$(\backslash$eta $)$ con los val$-$

ores en la frontera adecuados.

d$.$ Resolviendo la ecuaci $́$on diferencial del inciso c$),$ encuentre la soluci $́$on de

la ecuaci $́$on de calor. La distribuci$ó$n de la temperatura $u=u(x,t)$ en una varilla delgada de

longitud infinita satisface la ecuaci$ó$n de calor

$\frac{\text{d}\text{e}\text{l}\text{u}}{\text{d}\text{e}\text{l}\text{t}}=D\frac{de{l}^{2}u}{del{x}^2},-\infty 0,$

donde $D$ es una constante positiva, con valores en la frontera

$\underset{x\to +-\infty }{lim}(x^{\alpha }\frac{de{l}^{\beta }u}{del{x}^{\beta }}(x,t))=0,\alpha ,\beta =0,1,2,$dots

En el lugar de valor inicial, considere que $u$ satisface la siguiente condici$ó$n

de normalizaci$ó$n:

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}u(x,t)dx=\gamma$

donde $\gamma$ es una constante positiva $($independiente de $t).$

a$.$ Determine la unidades de las constantes $D$ y $\gamma .$

b$.$ Utilizando el an$á$lisis dimensional, determine la variable de similitud $\eta .$

c$.$ Determine la ecuaci$ó$n diferencial ordinaria que satisface $f(\eta )$ con los val$-$

ores en la frontera adecuados.

d$.$ Resolviendo la ecuaci$ó$n diferencial del inciso c$),$ encuentre la soluci$ó$n de

la ecuaci$ó$n de calor.