Pregunta: La distancia promedio de un punto en una región del plano D a un punto (,b seConsidere una región modelada por una función continua δ=δ(x,y) (a esta funciónse le llamará la densidad) de las coordenadas (x,y) de los puntos dentro de R (dondeR puede ser cualquier región en {:R2), las coordenadas (x‾,bar (y)) del centro de masa de Restán dadas

 La distancia promedio de un punto en una regi$ó$n del plano $D$ a un punto $(,b$ seConsidere una regi$ó$n modelada por una funci$ó$n continua $\delta =\delta (x,y)($a esta funci$ó$n

se le llamar$á$ la densidad$)$ de las coordenadas $(x,y)$ de los puntos dentro de $R($donde

$R$ puede ser cualquier regi$ó$n en $\{$:$R^2),$ las coordenadas $(\bar{x}\frac{,}{b}ar(y))$ del centro de masa de $R$

est$á$n dadas por

$\bar{x}=\frac{M_y}{M}\frac{y}{b}ar(y)=\frac{M_x}{M}$

donde

$M_y={\iint }_{R}x\delta (x,y)dA,M_x={\iint }_{R}y\delta (x,y)dA,M={\iint }_R\delta (x,y)dA,$

Las cantidades $M_x$ y $M_y$ se llaman los momentos $($o primeros momentos$)$ de la regi$ó$n $R$

con respecto al eje $x$ y al eje $y,$ respectivamente. La cantidad $M$ es la masa de la regi$ó$n

$R.$ Para ver esto, piense en tomar un rect$á$ngulo peque$ñ$o dentro de $R$ con dimensiones

$\Delta x$ y $\Delta y$ cercanas a $0.$ La masa de ese rect$á$ngulo es aproximadamente $\delta (x_{**},y_{**})\Delta x\Delta y,$

para alg$ú$n punto $(x_{**},y_{**})$ en ese rect$á$ngulo$.$ Entonces, la masa de $R$ es el l$í$mite de las

sumas de las masas de todos esos rect$á$ngulos dentro de $R$ a medida que las diagonales

de los rect$á$ngulos se acercan a $0,$ que es la integral doble ${\iint }_R\delta (x,y)dA.$

Sea $A$ la regi$ó$n en el plano $xy$ que est$á$ dentro del c$í$rculo $x^2+(y-1{)}^2=1$ pero fuera

del c$í$rculo $x^2+y^2=2.$ Determina la masa de esta regi$ó$n si la densidad est$á$ dada por

$\rho (x,y)=\frac{2}{\sqrt[\phantom{2}]{x^2+y^2}}$

define como

$\frac{1}{A(D)}{\iint }_D\sqrt[\phantom{2}]{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}dxdy$