La densidad conjunta para (XY) viene dada por f(xy)+2/(n(n+1)) 1<=y<=x<=n donde n es un entero positivo a) Verificar que f(x,y) satisface las condiciones necesarias para ser una densidad. Pista: La suma de los primeros n números enteros está dada por n(n+1)/2 y esto es la suma de x desde x=1 hasta x=n es (n(n+1))/2 b) Encuentra las densidades marginales para

Suponer NN_ccn={1,...,ccn} y NN_ccx={1,...,ccx} . Tenga en cuenta que 2/(ccn(ccn+1)),0ge0 y Por lo tanto, es una función de probabilidad válida.

Resuelto La densidad conjunta para (XY) viene dada por

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Pregunta: La densidad conjunta para (XY) viene dada por f(xy)+2/(n(n+1)) 1<=y<=x<=n donde n es un entero positivo a) Verificar que f(x,y) satisface las condiciones necesarias para ser una densidad. Pista: La suma de los primeros n números enteros está dada por n(n+1)/2 y esto es la suma de x desde x=1 hasta x=n es (n(n+1))/2 b) Encuentra las densidades marginales para
La densidad conjunta para (XY) viene dada por
f(xy)+2/(n(n+1)) 1<=y<=x<=n donde n es un entero positivo
a) Verificar que f(x,y) satisface las condiciones necesarias para ser una densidad. Pista: La suma de los primeros n números enteros está dada por n(n+1)/2 y esto es la suma de x desde x=1 hasta x=n es (n(n+1))/2
b) Encuentra las densidades marginales para X e Y. Sugerencia: Dibuje una imagen de la región sobre la cual se define (XY).
c) ¿X e Y son independientes?
d) Suponga que n = 5. Utilice la densidad conjunta para hallar P[x<=3 e y<=2]. Halle P[x<=3] y P[Y<=2]. Pista: Dibuje una imagen de la región sobre la que se define (XY).
Intenta enfocarte en un paso a la vez. ¡Tú puedes!
Solución
Paso 1
Suponer $N_{n} = {1, \dots, n}$ y $N_{x} = {1, \dots, x}$ .
Tenga en cuenta que $\frac{2}{n (n + 1)}, 0 \geq 0$ y
$\begin{matrix} \begin{aligned} \sum_{x, y \in R} f_{X, Y} (x, y) & = \sum_{x \in N_{n}} \sum_{y \in N_{x}} \frac{2}{n (n + 1)} \\ = \sum_{x \in N_{n}} \frac{2}{n (n + 1)} \times x \\ = \frac{2}{n (n + 1)} \sum_{x \in N_{n}} x \\ = \frac{2}{n (n + 1)} \times \frac{n (n + 1)}{2} \\ = 1 \end{aligned} \end{matrix}$
Por lo tanto, es una función de probabilidad válida.
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