Instrucciones: Lea y comprenda detenidamente la explicación teórica. Preste especial atención al contexto en el mundo real y a los conceptos y significados de cada una de las variables. Después resuelva los ejercicios propuestos, dejando clara constancia de todo su procedimiento, gráficas y respuestas.Ecuación logísticaPierre Verhulst (1804-1849) fue un matemático belga que se ocupó, entre otras cosas, de las dinámicas de las poblaciones naturales. Para propósitos de este trabajo hablaremos de peces. Verhulst formuló una ecuación diferencial para el tamaño de la población en el tiempo P(t) :dPdt=rP(1-PK),r0La ecuación (1) se conoce como ecuación logística, y hoy en día es la base de gran parte del estudio moderno de poblaciones dinámicas. dPdt es la tasa de crecimiento de la población, r es conocido como la constante intrínseca de incremento natural y K es la capacidad de carga.El término (1-PK) tiende a 1 cuando P se acerca a 0 , lo que conduce a un crecimiento exponencial, y (1-PK) tiende a 0 conforme P tiende a K, por lo tanto, hace que la curva de crecimiento de P(t) se aproxime a la asíntota horizontal P(t)=K. Así el tamaño de la población no puede exceder la capacidad de carga K del medio ambiente. Véase el capitulo 3.2 del libro de texto de Ecuaciones Diferenciales de Zill.El efecto AlleeSegún el modelo de Verhlust una población puede crecer hasta que la capacidad de sustento lo permita, y mientras una población disminuya de tamaño la tasa de crecimiento mejora. Pero, ¿qué pasa con aquellas poblaciones que han sido llevadas al borde de la extinción? ¿Que proporción de K es la mínima para que una población tenga una tasa de crecimiento estable?Nos encontramos ante el efecto Allee, propuesto por el ecólogo estadounidense Warder Clyde Allee (1885-1955). Dicho efecto hace referencia a una población en la cual la tasa de crecimiento per cápita disminuye a razón de contar con menos individuos.El efecto Allee se puede modelar con la siguiente variación de la ecuación logística:dPdt=rP(1-PK)(PA-1)Donde A se conoce como el umbral de Allee. El valor P(t)=A es el tamaño de la población por debajo del cual la tasa de crecimiento de la población llega a ser negativa, situado en un valor de P en algún lugar entre P(t)=0 y P(t)=K, es decir, P(t)dPdt=00, dependiendo de la especie.La ecuación (2) no resulta tan sencilla de resolver para P(t) como (1), pero no hay que resolverla para entender algunas partes de su dinámica. Si usted trabaja los ejercicios 3 y 4 , verá que las consecuencias de la ecuación (2) pueden ser desastrosas para las poblaciones en peligro de extensión.Ejercicios:3. Encuentre los puntos de equilibrio de la población para el modelo en (2). La población esta en equilibrio cuando dPdt=0, es decir, la población no está creciendo ni disminuyendo.

Question

Instrucciones: Lea y comprenda detenidamente la explicación teórica. ﻿Preste especial atención al contexto en el mundo real y a los conceptos y significados de cada una de las variables. Después resuelva los ejercicios propuestos, dejando clara constancia de todo su procedimiento, gráficas y respuestas.Ecuación logísticaPierre Verhulst (1804-1849) ﻿fue un matemático belga que se ocupó, ﻿entre otras cosas, ﻿de las dinámicas de las poblaciones naturales. Para propósitos de este trabajo hablaremos de peces. Verhulst formuló ﻿una ecuación diferencial para el tamaño de la población en el tiempo P(t) ﻿:dPdt=rP(1-PK),r>0La ecuación (1) ﻿se conoce como ecuación logística, ﻿y hoy en día es la base de gran parte del estudio moderno de poblaciones dinámicas. dPdt ﻿es la tasa de crecimiento de la población, r ﻿es conocido como la constante intrínseca de incremento natural y K ﻿es la capacidad de carga.El término (1-PK) ﻿tiende a 1 ﻿cuando P ﻿se acerca a 0 , ﻿lo que conduce a un crecimiento exponencial, y (1-PK) ﻿tiende a 0 ﻿conforme P ﻿tiende a K, ﻿por lo tanto, hace que la curva de crecimiento de P(t) ﻿se aproxime a la asíntota horizontal P(t)=K. ﻿Así ﻿el tamaño de la población no puede exceder la capacidad de carga K ﻿del medio ambiente. Véase el capitulo 3.2 ﻿del libro de texto de Ecuaciones Diferenciales de Zill.El efecto AlleeSegún el modelo de Verhlust una población puede crecer hasta que la capacidad de sustento lo permita, y mientras una población disminuya de tamaño la tasa de crecimiento mejora. Pero, ¿qué ﻿pasa con aquellas poblaciones que han sido llevadas al borde de la extinción? ¿Que proporción de K ﻿es la mínima para que una población tenga una tasa de crecimiento estable?Nos encontramos ante el efecto Allee, propuesto por el ecólogo estadounidense Warder Clyde Allee (1885-1955). ﻿Dicho efecto hace referencia a una población en la cual la tasa de crecimiento per cápita disminuye a razón de contar con menos individuos.El efecto Allee se puede modelar con la siguiente variación de la ecuación logística:dPdt=rP(1-PK)(PA-1)Donde A ﻿se conoce como el umbral de Allee. El valor P(t)=A ﻿es el tamaño de la población por debajo del cual la tasa de crecimiento de la población llega a ser negativa, situado en un valor de P ﻿en algún lugar entre P(t)=0 ﻿y P(t)=K, ﻿es decir, P(t)dPdt=00, ﻿dependiendo de la ﻿especie.La ﻿ecuación (2) no ﻿resulta tan sencilla de ﻿resolver para P(t) ﻿como (1), ﻿pero no ﻿hay que resolverla para entender algunas partes de su ﻿dinámica. Si ﻿usted trabaja los ejercicios 3 y 4 , ﻿verá ﻿que las consecuencias de la ﻿ecuación (2) ﻿pueden ser desastrosas para las poblaciones en ﻿peligro de ﻿extensión.Ejercicios:3. ﻿Encuentre los puntos de ﻿equilibrio de la ﻿población ﻿para el ﻿modelo en (2). La ﻿población ﻿esta en ﻿equilibrio cuando dPdt=0, es ﻿decir, la ﻿población no ﻿está ﻿creciendo ni ﻿disminuyendo.

Accepted Answer

Introducción  De acuerdo a los datos suministrados, vamos a encontrar los puntos de equilibrio de la e...

¡Tu solución está lista!

Estudia mejor, ¡ahora en español!