Pregunta: II. La población durante el año k de dos especies R y S se representa mediante el vector xk=[RkSk]. La cvolución de las poblaciones está gobernada por th recursion xk+1=Axk. donde A=[0.5−0.40.21.1] y x0=[23] a. (4 puntos)Use SAGE para encontrar los autovalores de la matriz A, asi como una base (v^1,vˉ2) para R2 compuesta por autovectores de A. b. (4 puntos)

II. La población durante el año $k$ de dos especies $R$ y $S$ se representa mediante el vector $\overline{x_k}=\left[\begin{array}{l}{R}_k\\ S_k\end{array}\right]$. La cvolución de las poblaciones está gobernada por th recursion $\overrightarrow{x_{k+1}}=A\overrightarrow{x_k}$. donde $A=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.2\\ -0.4& 1.1\end{array}\right]$ y $\overrightarrow{x_0}=\left[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\right]$ a. (4 puntos)Use SAGE para encontrar los autovalores de la matriz $A$, asi como una base $\left({\hat{v}}_1,{\bar{v}}_2\right)$ para $R^2$ compuesta por autovectores de $A$. b. (4 puntos) Encuentre una förmula para $\overline{x_k}$ en términos de los autovectores ${\vec{v}}_1,\overrightarrow{v_2}$. c. (2 puntos)Encuentre ${\lim }_{k\to \infty }\overrightarrow{x_k}$ d. (3 puntos) Encuentre una formula para $R_k$, la población de la especie $R$ luego de $k$ años. e. (3 puntos)Encuentre ${\lim }_{k\to \infty }\frac{R_{k+1}}{R_k}$. Explique el significado de este cómputo en términos de la tasa de crecimiento o descenso en la población de la especie $R$ cuando ha transcurrido mucho tiempo.