Pregunta: HOJA DE TRABAJO Problemática 1. La fórmula del centro de masa para un sistema de placas delgadas visto puede extenderse a una placa cualquiera visualizándola como el sistema de masas que se forma al partirla en infinidad de franjas verticales de anchura infinitesimal dx. Para ver esto, consideremos a una placa con densidad superficial de masa σ y supongamos

HOJA DE TRABAJO Problemática 1. La fórmula del centro de masa para un sistema de placas delgadas visto puede extenderse a una placa cualquiera visualizándola como el sistema de masas que se forma al partirla en infinidad de franjas verticales de anchura infinitesimal $dx$. Para ver esto, consideremos a una placa con densidad superficial de masa $\sigma$ y supongamos que al instalar un sistema de coordenadas cartesianas, la longitud vertical de la placa correspondiente a un valor de $x$ entre $a$ y $b$ es $L(x)$ como se aprecia en la siguiente figura a) Su diferencial de área $dA$ para la región sombreada seria? b) De acuerdo al inciso a) su diferencial de Masa $dA$ seria? c) Demuestra que considerando el inciso b) y la fórmula $\bar{x}=$ $\frac{{\sum }_{i=1}^{i=n}{x}_i{M}_i}{{\sum }_{i=1}^{i=n}{M}_i}$ para el centro de masa de un sistema de $n$ placas delgadas puede extenderse para considerar a un sistema de infinidad de franjas verticales con anchura infinitesimal $dx$, se puede obtener que el centro de masa $\bar{x}$ de la placa es: $\bar{x}=\frac{{\int }_{x=a}^{x=b}xL(x)dx}{{\int }_{x=a}^{x=b}L(x)dx}$ d) Si la placa está limitada superiormente por la gráfica de la función $y=f(x)$ e inferiormente por la gráfica de la función $y=g(x)$, como puede reescribirse el centro de masa en términos de $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ y $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ ? e) $Y$ en el caso particular de que la placa esté limitada inferiormente por el eje $x$, o sea que $g(x)=0$, como quedaría el centro de masa? f) Por simetria podemos considerar también al centro de masa $\bar{y}$ de la placa, con lo que nos referimos al punto de equilibrio de la placa en la dirección del eje $y$, lo que equivale a concentrar toda la masa de la placa en la linea horizontal con ecuación $y=$ $\bar{y}$, generando de esta manera un momento con respecto al eje $x$ equivalente a la suma de los momentos con respecto a este eje de las franjas horizontales de anchura infinitesimal $dy$ en que puede ser dividida la placa. Como se puede reescribir la ecuación del inciso e) Problemática 2. Una fórmula diferente para el centro de masa $\bar{x}$ de la placa puede obtenerse visualizando a la placa como el sistema de masas que se forma al partirla en infinidad de franjas horizontales de anchura infinitesimal común $dy$, en donde supondremos que " $y$ " varia de $c$ a $d$. En este caso la longitud horizontal de la placa correspondiente a un valor de $y$ entre $c$ y $d$ la representamos por $L(y)$ como se aprecia en la siguiente figura: g) Su diferencial de área $dA$ para la región sombreada seria? h) De acuerdo al inciso a) su diferencial de Masa $dA$ seria? i) Demuestra que considerando el inciso b) y la fórmula $\bar{x}=$ $\frac{{\sum }_{i=1}^{i=n}{x}_i{M}_i}{{\sum }_{i=1}^{i=n}{M}_i}$ para el centro de masa de un sistema de $n$ placas delgadas puede extenderse para considerar a un sistema de fórmula $\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^{i=n}{x}_i{M}_i}{{\sum }_{i=1}^{i=n}{M}_i}$ para el centro de masa de un sistema de $n$ placas delgadas puede extenderse nuevamente considerando para cada franja horizontal con anchura infinitesimal $dy$, que su valor de $x$ (o posición en el eje $x$ ) es su propio centro de masa, o sea $\bar{L}(y)$, es: $\bar{x}=\frac{\int xdM}{\int dM}=$ $\frac{{\int }_{y=c}^{y-d}\bar{L}(y)L(y)dy}{{\int }_{y=c}^{y-d}L(y)dy}$ j) Si la placa esté limitada a la derecha por la gráfica de $x=f(y)$ y a la izquierda por la gráfica de $x=g(y)$ demuestra que el centro de masa en términos de $\mathrm{f}(\mathrm{y})$ y $\mathrm{g}(\mathrm{y})$, se puede reescribir de la siguiente forma. Considera que $\bar{L}(y)=(1/2)[f(y)+g(y)]$ $\bar{x}=\frac{(1/2){\int }_{y=c}^{y-d}\left[f^2(y)-g^2(y)\right]dy}{{\int }_{y=c}^{y-d}[f(y)-g(y)]dy}$ k) En el caso particular de que la placa esté limitada a la izquierda por el eje $y$, o sea que $g(y)=0$, como quedaria la expresión anterior? 1) Como se puede reescribir la ecuación del inciso j) y k) de acuerdo al inciso f) m) Por lo tanto el centro de masa de una placa irregular tomando en cuenta tanto la dirección del eje $x$ como la dirección del eje $y$ es el punto en el plano con coordenadas $(\bar{x},\bar{y})$, es?