Resuelto GIVEN: f:D⊂R2→R,f(x,y)=sin2xcosy and | Chegg.com.mx

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Pregunta: GIVEN: f:D⊂R2→R,f(x,y)=sin2xcosy and D={(x,y)∣0≤x≤2π0≤y≤2x} EVALUATE: ∫Df(x,y)dxdy ANS:21GIVEN: D={(x,y)∣(x−2)2+y2≤4} ANS:8π EVALUATE: ∫Dxdxdy
1.

2,

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Hay 3 pasos para resolver este problema.
Solución
Paso 1
Let $f (x, y) = \sin^{2} x \cos y$ and the region is bounded by $D = {(x, y) : 0 \leq x \leq \frac{π}{2}, 0 \leq y \leq 2 x}$
So the integration is given as fellow

$\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{D} f (x, y) d x d y & = \int_{x = 0}^{\frac{π}{2}} \int_{y = 0}^{2 x} f (x, y) d y d x \\ = \int_{x = 0}^{\frac{π}{2}} \int_{y = 0}^{2 x} \sin^{2} x \cos y d y d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\sin^{2} x (\int_{0}^{2 x} \cos y d y) d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\sin^{2} x {[\sin y]}_{0}^{2 x}) d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x [\sin 2 x - 0] d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \sin 2 x d x \\ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \sin x \cos x d x \end{aligned} \end{matrix}$

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GIVEN:

f : D \subset R^{2} \to R, f (x, y) = sin^{2} x cos y

and

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq \frac{π}{2} 0 \leq y \leq 2 x}

EVALUATE:

\int_{D} f (x, y) d x d y

A NS : \frac{1}{2}

GIVEN:

D = {(x, y) ∣ (x - 2)^{2} + y^{2} \leq 4}

A NS : 8 π

EVALUATE:

\int_{D} x d x d y