Pregunta: Función de distribución. Para una variable aleatoriax con pdffx(x) , definimos su función de distribuciónFx(x) porFx(x)=P(x≤x)=∫-∞xfx(t)dt. Usando el Teorema Fundamental del Cálculo (FTC), tenemos queFx'(x)=fx(x) . Esto nos proporciona una manera de recuperar la función de densidad de probabilidad a partir de su función de distribución. Por ejemplo,

Funci$ó$n de distribuci$ó$n$.$ Para una variable aleatoriax con pdf$f_x(x),$ definimos su funci$ó$n de distribuci$ó$n$F_x(x)$ por$F_x(x)=P(x\le x)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}}{f}_x(t)dt.$ Usando el Teorema Fundamental del C$á$lculo $($FTC$),$ tenemos que$F_x^{\text{'}}(x)=f_x(x).$ Esto nos proporciona una manera de recuperar la funci$ó$n de densidad de probabilidad a partir de su funci$ó$n de distribuci$ó$n$.$ Por ejemplo, si definimos una nueva variable aleatoriaY$=ax+b$ d$ó$nde$a>0,$ entonces su funci$ó$n de distribuci$ó$n es$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(ax+b\le y)=P(x\le \frac{yb}{a})={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\frac{yb}{a}}{\int }}}{f}_x(x)dx$ y de ah$í$ el pdf deY es dado por$F_Y^{\text{'}}(y)=\frac{d}{dy}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\frac{yb}{a}}{\int }}}{f}_x(x)dx={?}^{FTC}\frac{1}{a}{f}_x(\frac{yb}{a}).$ Ejercicio $2.$ Supongamos que una variable aleatoriax tiene funci$ó$n de densidad de probabilidad$f_x(x)=\frac{1}{\sqrt[\phantom{2}]{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},$ where $\mu ,\sigma are$ constants and $\sigma >0.($a$)$ DefinirY$=ax+b$ d$ó$nde$a,b$ son constantes y$a>0.$ Esto significa queP$(xin[0,1])=P(Yin[b,a+b]).$ Encuentre los intervalos paraY eso corresponder$í$a a$\mu -\sigma ,\mu +\sigma$ y$\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma .$