Pregunta: Existe una forma alternativa de definir una geodésica a la que vimos en clase (aunque totalmente equivalente). Una geodésica es una curva que, dada la métrica de la variedad, minimiza la distancia entre dos puntos. En el caso del espacio-tiempo, una geodésica minimiza

Existe una forma alternativa de definir una geodésica a la que vimos en clase (aunque totalmente equivalente). Una geodésica es una curva que, dada la métrica de la variedad, minimiza la distancia entre dos puntos. En el caso del espaciotiempo, una geodésica minimiza el tiempo o distancia propia entre eventos si su separación el tipo tiempo o espacio respectivamente (desde luego el caso sutil de esta definición es la separación nula, pero evitemos eso en este problema). Para el caso tipo tiempo, una geodésica $x^{\mu }(\lambda )$ es aquella que minimiza la funcional ${}^1$ $S={\int }_{{\lambda }_i}^{{\lambda }_f}\mathcal{L}\left(x^{\mu },{\dot{x}}^{\mu }\right)$ donde el punto denota la derivada respecto al parámetro arbitrario $\lambda$ y $\mathcal{L}$ es el lagrangiano de la partícula libre en el espaciotiempo $\mathcal{L}\left(x^{\mu },{\dot{x}}^{\mu }\right)=\sqrt{-g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }}$ Nota que la dependencia en la posición $x^{\mu }$ está implícita en las componentes de la métrica $g_{\mu \nu }$, de modo que no es una expresión tan simple. En este problema mostrarás que la ecuación geodésica que escribimos en clase corresponde con las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al lagrangiano definido previamente. Para esto: a) Demuestra que $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{\alpha }}=-\frac{1}{2}\frac{{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }}{\sqrt{-g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }}}{\partial }_{\alpha }{g}_{\mu \nu },\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}^{\alpha }}=-\frac{g_{\mu \alpha }{\dot{x}}^{\mu }}{\sqrt{-g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }}}$ b) Imponiendo parametrización afín tal que $g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }=-1$, donde a partir de aquí el punto denota la derivada respecto al tiempo propio $\tau$, muestra que las ecuaciones de Euler-Lagrange $\frac{d}{d\tau }\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}^{\alpha }}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{\alpha }}=0$ en este caso son $g_{\mu \alpha }{\ddot{x}}^{\mu }+{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }\left({\partial }_{\nu }{g}_{\mu \alpha }-\frac{1}{2}{\partial }_{\alpha }{g}_{\mu \nu }\right)=0$ Hint: No olvides usar la regla de la cadena al derivar respecto a $\tau$. c) Finalmente, usa la expresión para los símbolos de Christoffel en términos de la métrica para demostrar que la ecuación de b) se puede escribir como ${\ddot{x}}^{\alpha }+{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\alpha }=0$ que es la ecuación geodésica tal como la vimos en clase.