Pregunta: Esta pregunta trata sobre una distribución de probabilidad discreta conocida como distribución de Poisson. Sea x una variable aleatoria discreta que puede tomar la valores 0,1,2,dots Se dice que una cantidad x tiene distribución de Poisson si la probabilidad P(x) de obtener x esp(x)=e-mmxx!,donde m es un número particular (que demostraremos en la parte

Esta pregunta trata sobre una distribuci$ó$n de probabilidad discreta conocida como distribuci$ó$n de Poisson. Sea $x$ una variable aleatoria discreta que puede tomar la valores $0,1,2,$dots Se dice que una cantidad $x$ tiene distribuci$ó$n de Poisson si la probabilidad $P(x)$ de obtener $x$ es

$p(x)=\frac{e^{-m}{m}^x}{x!},$

donde $m$ es un n$ú$mero particular $($que demostraremos en la parte $($b$)$ de este ejercicio es el valor medio de $x).$

$($a$)$ Demuestre que $P(x)$ es una distribuci$ó$n de probabilidad que se comporta bien en el sentido de que

${\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }}P(x)=1$

$(¿$Por qu$é$ es importante esta condici$ó$n$?)$

$($b$)$ Demuestre que el valor medio de la distribuci$ó$n de probabilidad es

$($:$x$:$)={\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }}xP(x)=m$

$($c$)$ La distribuci$ó$n de Poisson es $ú$til para describir eventos muy raros, que ocurren de manera independiente y cuya tasa promedio no cambia durante el per$í$odo de inter$é$s$.$ Ejemplos incluyen defectos de nacimiento medidos por a$ñ$o$,$ accidentes de tr$á$fico en un cruce particular por a$ñ$o$,$ cantidad de errores tipogr$á$ficos en una p$á$gina y el n$ú$mero de activaciones de un contador Geiger por minuto. El primer ejemplo registrado de una distribuci$ó$n de Poisson, el que de hecho motiv$ó$ a Poisson, estaba relacionado con el raro evento de que alguien fuera golpeado hasta la muerte por un caballo en el ej$é$rcito prusiano. Se registr$ó$ la cantidad de muertes por patada de caballo de personal militar prusiano para cada uno de los $10$ cuerpos en cada uno de los $20$ a$ñ$os de $1875$ a $1894,$ y se registraron los siguientes datos:

Calcula la media del n$ú$mero de muertes por a$ñ$o por cuerpo. Compara la frecuencia observada con una frecuencia calculada asumiendo

$1$

que el n$ú$mero de muertes por a$ñ$o por cuerpo sigue una distribuci$ó$n de Poisson con esta media.