Pregunta: Esta pregunta trata sobre una distribución de probabilidad continua conocida como distribución exponencial.Sea x una variable aleatoria continua que puede tomar cualquier valor x≥0. Se dice que una cantidad está distribuida exponencialmente si toma valores entre x and x+dx con probabilidadP(x)dx=Ae-xλdxdonde λ y A son constantes.(a) Encuentre el valor

Esta pregunta trata sobre una distribuci$ó$n de probabilidad continua conocida como distribuci$ó$n exponencial.

Sea $x$ una variable aleatoria continua que puede tomar cualquier valor $x\ge 0.$ Se dice que una cantidad est$á$ distribuida exponencialmente si toma valores entre $x$ and $x+dx$ con probabilidad

$P(x)dx=A{e}^{-\frac{x}{\lambda }}dx$

donde $\lambda$ y A son constantes.

$($a$)$ Encuentre el valor de A que hace que $P(x)$ sea una distribuci$ó$n de probabilidad continua bien definida, de modo que ${\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}P(x)dx=1$

$($b$)$ Demuestre que el valor medio de la distribuci$ó$n de probabilidad es $($:$x$:$)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}xP(x)dx=\lambda$

$($c$)$ Encuentre la varianza y la desviaci$ó$n est$á$ndar de esta distribuci$ó$n de probabilidad. Tanto la distribuci$ó$n exponencial como la distribuci$ó$n de Poisson se utilizan para describir procesos similares, pero para la distribuci$ó$n exponencial x es el tiempo real entre, por ejemplo, sucesivas desintegraciones radiactivas, sucesivas colisiones moleculares o sucesivos incidentes de patadas de caballos $($en lugar de$,$ como ocurre con la distribuci$ó$n de Poisson, siendo $x$ simplemente el n$ú$mero de tales eventos en un intervalo espec$í$fico$).$