Pregunta: Esta pregunta introduce un método bastante eficiente para calcular la media y la varianza de distribuciones de probabilidad. Definimos la función generadora de momentos M(t) para una variable aleatoria x mediante la ecuaciónM(t)=(:etx:)Demuestra que esta definición implica que(:xn:)=M(n)(0)donde M(n)(t)=dnMdtn, y además que la media (:x:)=M(1)(0) y la

Esta pregunta introduce un m$é$todo bastante eficiente para calcular la media y la varianza de distribuciones de probabilidad. Definimos la funci$ó$n generadora de momentos $M(t)$ para una variable aleatoria $x$ mediante la ecuaci$ó$n

$M(t)=($:$e^{tx}$:$)$

Demuestra que esta definici$ó$n implica que

$($:$x^n$:$)=M^{(n)}(0)$

donde $M^{(n)}(t)=d^n\frac{M}{d{t}^n},$ y adem$á$s que la media $($:$x$:$)=M^{(1)}(0)$ y la varianza ${\sigma }_x=M^{(2)}(0)-[M^{(1)}(0){]}^2.$ Luego, demuestra que:

$($a$)$ para una sola prueba de Bernoulli,

$M(t)=p{e}^t+(1-p)$

$($b$)$ para la distribuci$ó$n binomial,

$M(t)=(p{e}^t+(1-p){)}^n$

$($c$)$ para la distribuci$ó$n de Poisson,

$M(t)=e^{m(e^t-1)}$

$($d$)$ para la distribuci$ó$n exponencial,

$M(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t}$

Por lo tanto, deriva la media y la varianza en cada caso y muestra que concuerdan con los resultados obtenidos anteriormente.