Pregunta: Encontrar el centro de masa de las siguientes regiones o sólidos, haciendo uso de las siguientes relaciones.SÓLIDO TRIDIMENSIONALMasa:M=∭DδdVPrimeros momentos de inercia con respecto a los planos coordenadosMyz=∭DxδdV,Mxz=∭DyδdV,Mxy=∭DzδdVCentro de masax‾=MyzM,bar (y)=MxM,bar (z)=MxyMPLACA DE DOS DIMENSIONESMasa:M=∬RδdAPrimeros momentos de inercia con

Encontrar el centro de masa de las siguientes regiones o s$ó$lidos$,$ haciendo uso de las siguientes relaciones.

S$Ó$LIDO TRIDIMENSIONAL

Masa:

$M={\iiint }_D\delta dV$

Primeros momentos de inercia con respecto a los planos coordenados

$M_{yz}={\iiint }_{D}x\delta dV,M_{xz}={\iiint }_{D}y\delta dV,M_{xy}={\iiint }_{D}z\delta dV$

Centro de masa

$\bar{x}=\frac{M_{yz}}{M}\frac{,}{b}ar(y)=\frac{M_x}{M}\frac{,}{b}ar(z)=\frac{M_{xy}}{M}$

PLACA DE DOS DIMENSIONES

Masa:

$M={\iint }_R\delta dA$

Primeros momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados

$M_y={\iint }_{R}x\delta dA,M_x={\iint }_{R}y\delta dA$

Centro de masa

$\bar{x}=\frac{M_y}{M}\frac{,}{b}ar(y)=\frac{M_x}{M}$

a$)r=1,r=3,x=,y=0,$ con densidad constante

b$)y=\sqrt[\phantom{2}]{3}x,y=0,x=3$ con una densidad $\rho =r^2$

c$)$ Fuera de $r=2$ y dentro de $r=2+2cos(\theta ),y=0$ en el primer cuadrante y cuya densidad en un

punto es inversamente proporcional a la distancia desde el origen

d$)z=\sqrt[\phantom{2}]{x^2+y^2},z=1,x=0,y=0,$ si la densidad est$á$ dada por $\rho =\sqrt[\phantom{2}]{x^2+y^2}$

e$)z=\sqrt[\phantom{2}]{x^2+y^2},x^2+y^2+z^2=2z,$ con densidad constante