Pregunta: En una empresa de componentes electrónicos están estudiando la calidad de una nueva batería quehan fabricado. Para ello, hacen pruebas con una muestra de baterías y se realiza un estudioestadístico.a) Se ha comprobado que la probabilidad de que una batería falle durante sus primeras T horasde vida se aproxima por una ley

En una empresa de componentes electr$ó$nicos est$á$n estudiando la calidad de una nueva bater$í$a que

han fabricado. Para ello, hacen pruebas con una muestra de bater$í$as y se realiza un estudio

estad$í$stico$.$

a$)$ Se ha comprobado que la probabilidad de que una bater$í$a falle durante sus primeras $T$ horas

de vida se aproxima por una ley exponencial,

$P(T)={\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\frac{e^{-\frac{t}{5000}}}{5000}dt$

donde Tin$[0,{\infty }_{{?}_{?}}).$ Al ser una probabilidad, debe cumplirse que

$\underset{m}{lim}P(T)=1.T\to \infty$

Esto quiere decir que, por mucho que dure, cualquier bater$í$a se estropeara si podemos esperar'

cantidades arbitrariamente grandes de tiempo. Comprueba, haciendo uso de la definici$ó$n de$\text{'}$

$P(T)$ como integral, que se cumple el l$í$mite $($resuelve la integral para $T=\infty ).$

b$)$ La manera de expresar matem$á$ticamente el valor medio del tiempo de vida de una bater$í$a es

$($:$t$:$)-={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}t\frac{e^{-\frac{t}{5000}}}{5000}dt.$

Comprueba que $($:$t$:$)=5000$ horas.