Pregunta: En teoria de anillos (Algebra abstracta) completar la demostracion de los colorarios del teorema 26.2 es decir, desarrollarlas paso a paso para que sea mas entendible sus demostraciones de los dos corolarios. el libro es. Afirst course in abstract algebra de jonh B. Fraleigh.

Teorema 26.2 Sea $F$ un campo de cocientes de $D$ y sea $L$ cualquier campo que contenga $D$. Entonces, existe una transformación $\psi :F\to L$ que da un isomorfismo de $F$ con un subcampo de $L$ tal que $a\psi =$ a para $a\in D$. Demostración El diagrama reticular y el de la transformación en la figura 26.1 pueden ayudar a visualizar la situación de este teorema. Un elemento de $F$ es de la forma $a{/}_{F}b$ donde $/F$ denota el cociente de $a\in D$ por $b\in D$ considerados como elementos de $F$. Claramente, deseamos transformar $a/Fb$ sobre $a{/}_{L}b$ donde ${/}_L$ denota el cociente de elementos en $L$. Esto es tan trivial, que se podría pensar que hay trampa al definir la transformación $\psi$, pero lo haremos de cualquier manera. Debemos definir $\psi :F\to L$, comenzamos definiendo $a\psi =a\text{ para }a\in D.$ Toda $x\in F$ es un cociente $a/Fb$ de algunos dos elementos $a$ y $b,b\ne 0$, de $D$. Tratemos de definir $\psi$ por $(a/F)\psi =(a\psi ){/}_L(b\psi )$ Primero debemos mostrar que esta transformación $\psi$ es sensata y está bien definida. Como $\psi$ es la identidad en $D$, para $b\ne 0$ tenemos $b\psi \ne 0$; así, nuestra definición de $(a/Fb)\psi$ como $(a\psi )/L(b\psi )$ tiene sentido. Si $a/Fb=c/Fd$ en $F$, entonces $ad=bc$ en $D$, de modo que $(ad)\psi =(bc)\psi$. Pero como $\psi$ es la identidad en $D$, $(ad)\psi =(a\psi )(d\psi )\text{ y }(bc)\psi =(b\psi )(c\psi )$ Así, $(a\psi ){/}_L(b\psi )=(c\psi ){/}_L(d\psi )$ en $L$, de modo que $\psi$ está bien definida. Las ecuaciones $(xy)\psi =(x\psi )(y\psi )$ y $(x+y)\psi =x\psi +y\psi$ se siguen fácilmente de la definición de $\psi$ en $F$ y del hecho de que $\psi$ es la identidad en $D$. Si $(a/Fb)\psi =(c/Fd)\psi$, tenemos $(a\psi ){/}_L(b\psi )=(c\psi ){/}_L(d\psi )$ de modo que $(a\psi )(d\psi )=(b\psi )(c\psi )$ Como $\psi$ es la identidad en $D$, concluimos que $ad=bc$, por $\mathrm{tantc},{a|}_{\mathrm{F}}b=c/{}_{\mathrm{F}}d$. Así, $\psi$ es uno a uno. Por definición, $a\psi =a$ para $a\in D$. Corolario Todo campo L que contiene a un dominio entero D, contiene al campo de cocientes de $D$. Demostración En la demostración del teorema 26.2, todo elemento del subcampo $F\psi$ de $L$ es un cociente en $L$ de elementos de $D$. Corolario Cualesquiera dos campos de cocientes de un dominio entero D son isomorfos. Demostración En el teorema 26.2, supóngase que $L$ es un campo de cocientes de $D$, de modo que todo elemento $x$ de $L$ puede expresarse en la forma $a/Lb$ para $a,b\in D$. Entonces, $L$ es el campo $F\psi$ de la demostración del teorema 26.2 y es, asi, isomorfo a $F$.