En la respuesta a este ejercicio (a) Encuentra E[Y], ¿podrías explicar por qué E(Y=y|X=X)=nx?

Resuelto En la respuesta a este ejercicio (a) Encuentra E[Y],

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Pregunta: En la respuesta a este ejercicio (a) Encuentra E[Y], ¿podrías explicar por qué E(Y=y|X=X)=nx?
En la respuesta a este ejercicio (a) Encuentra E[Y], ¿podrías explicar por qué E(Y=y|X=X)=nx?

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Texto de la transcripción de la imagen:

Given that

X \sim Uni (0, 1)

\Rightarrow f (x) = {1, 0, for 0 \leq x \leq 1 elsewhere

\Rightarrow E (X) = \frac{1}{2}

Also given that

Y ∣ X \sim Bin (n, p = x)

\Rightarrow P {Y = y ∣ X = x} = (n y) x^{y} (1 - x)^{n - y}, y = 0, 1, 2, \dots, n

\Rightarrow E (Y = y ∣ X = x) = n x

E (Y) = E {E (Y ∣ X)} = E {nX} = nE (X) = \frac{n}{2}

f_{X Y} (x, y) = P {Y = y ∣ X = x} f (x) = (n y) x^{y} (1 - x)^{n - y}

\Rightarrow f_{Y} (y) = \int_{x} f_{X Y} (x, y) d x = \int_{0}^{1} (n y) x^{y} (1 - x)^{n - y} d x = (n y \int_{0}^{1} x^{y + 1 - 1} (1 - x)^{n - y + 1 - 1} d x = {\frac{n !}{y ! ( n - y )!}} {\frac{y ! ( n - y )!}{( n + 1 )!}} [By Beta integral = \frac{1}{n + 1}

∴

The distribution of

Y

is discrete uniform.