Pregunta: En este trabajaremos con los dígitos binarios (o bits) 0 y 1, en lugar de los números reales R. Al trabajar con números binarios, 1 + 1 = 0, la multiplicación es similar a la de números reales números. Denotemos el conjunto {0, 1} junto con la suma binaria y la multiplicación por F . Definir F norte = {   v1 v2 ... v.n.  , vi ∈F } ser el conjunto de

En este trabajaremos con los dígitos binarios (o bits) 0 y 1, en lugar de los números reales
R. Al trabajar con números binarios, 1 + 1 = 0, la multiplicación es similar a la de números reales
números. Denotemos el conjunto {0, 1} junto con la suma binaria y la multiplicación por F . Definir
F norte = {


v1
v2
...
v.n.

, vi ∈F }
ser el conjunto de todos los vectores con n filas cuyos componentes son números binarios.
(1) ¿Cuántos vectores hay en F 8?
(2) Una matriz de Hamming con n filas es una matriz que contiene todos los vectores distintos de cero en F n como sus columnas
(en cualquier orden). Por ejemplo H =
1 0 1
0 1 1

es una matriz de Hamming. Encuentra todas las matrices de Hamming
con 2 filas.
(3) Sea H =

1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 0

. ¿Es H una matriz de Hamming?
(4) Encuentre cuatro vectores ⃗v1, ··· , ⃗v4 tales que ker(H) = sp(⃗v1, ··· , ⃗v4) y
L =

 | | | |
⃗v1 ⃗v2 ⃗v3 ⃗v4
| | | |

 =
A
I4

donde A es una matriz de 3 ×4 e I4 la identidad de 4 ×4.
(5) Explique la relación entre ker H e im L. Para un vector arbitrario ⃗x, encuentre HL⃗x.
(6) Cuando se transmite información, puede haber algunos errores en la comunicación. un metodo
lidiar con el error introducido por un canal ruidoso es agregar bits adicionales a los mensajes para que la mayoría
los errores que ocurren durante la transmisión pueden ser detectados y corregidos. Tales métodos se refieren
como códigos de corrección de errores.
Supongamos que queremos transmitir vectores en F 4 de una computadora a otra. Un vector ⃗u en F 4
se transforma primero en un vector ⃗v = L⃗u en F 7, donde L es la matriz que encontró anteriormente. Qué
Cuáles son las últimas cuatro entradas de ⃗v? (prueba con un ejemplo a ver que pasa)
(7) Las primeras tres entradas de ⃗v se agregan para detectar errores. Suponga que ahora transmite ⃗v desde una
computadora a otra. Algunos bits en el vector ⃗v pueden cambiar en esta transmisión. Suponemos que en
la mayoría de los errores ocurrirán durante la transmisión; es decir, el vector ⃗w recibido será ⃗v (si
no ha ocurrido ningún error) o ⃗w = ⃗v + ⃗ei (si hay un error en la i-ésima componente del vector).
¿Cómo puede saber la computadora receptora si hubo un error en la transmisión? Si hubiera
no hay error, ¿cuál es H ⃗w ?
(8) Si hubo un error, ¿cómo puede determinar la computadora en qué componente se cometió el error?
(9) Supongamos que se recibe el vector ⃗w = 1 0 1 0 1 0 0 T. Determinar si se cometió un error
en la transmisión y, en caso afirmativo, corregirlo. Eso es encontrar ⃗v y ⃗u.