Pregunta: En este problema resolverás la ecuación diferencial 18x2y′′+11x2y′+3y=0. 18x2y″+11x2y′+3y=0. (1) Dado que P(x)=P(x)= 11/18 o Q(x)=Q(x)= 1/(6x^2) no son analíticos en x=0x=0, x=x= 0 es un punto singular de la ecuación diferencial. Utilizando el teorema de Frobenius, debemos comprobar que xP(x)=xP(x)= 11x/18 y x2Q(x)=x2Q(x)= 1/(6) son ambos analíticos en

En este problema resolverás la ecuación diferencial 18x2y′′+11x2y′+3y=0. 18x2y″+11x2y′+3y=0. (1) Dado que P(x)=P(x)= 11/18 o Q(x)=Q(x)= 1/(6x^2) no son analíticos en x=0x=0, x=x= 0 es un punto singular de la ecuación diferencial. Utilizando el teorema de Frobenius, debemos comprobar que xP(x)=xP(x)= 11x/18 y x2Q(x)=x2Q(x)= 1/(6) son ambos analíticos en x=0x=0. Dado que xP(x)xP(x) y x2Q(x)x2Q(x) son analíticos en x=0x=0, x=0x=0 es un punto singular regular para la ecuación diferencial 18x2y′′+11x2y′+3y= 0.18x2y″+11x2y′+3y=0. A partir del resultado del teorema de Frobenius, podemos suponer que 18x2y′′+11x2y′+3y=018x2y″+11x2y′+3y=0 tiene una solución de la forma y=xr∑k=1∞ckxky=xr∑k= 1∞ckxk que converge para x∈(0,R)x∈(0,R) donde rr y RR son constantes que se determinarán más adelante. (2) Sustituyendo y=xr∑∞k=0ck xky=xr∑k=0∞ck xk en 18x2y′′+11x2y′+3y=018x2y″+11x2y′+3y=0, obtenemos que xr(xr( c ++ ∞∞ ∑∑ nn==11 [[ c ++ c ]xn=0]xn=0 Los subíndices de los cc deben ser crecientes y números o en términos de nn (3) En este paso, usaremos la ecuación anterior para encontrar las raíces iniciales y la relación de recurrencia de la ecuación diferencial. (a) De la ecuación anterior, sabemos que las raíces iniciales de la ecuación diferencial son (en orden creciente) r=r= 0 y r=r = 0. (b) De la serie anterior, encontramos que la relación de recurrencia es c == c para ≥≥ (4) La solución general a 18x2y′′+11x2y′+3y=018x2y″+11x2y′+3y=0 es yy == AA xx (( ++ x+x+ x2+x2+ x3+⋯)x3+⋯) ++ BB xx (( ++ x+x+ x2+x2+ x3+⋯)x3+⋯) y converge en el intervalo (0, inf) Utilice -inf para −∞−∞ e inf para ∞