Pregunta: En este problema, llamaremos matriz de función de transferenciaT(s) estable si todos sus polos están enC- . Para una matriz de función de transferencia (no necesariamente estable)T(s) de tamañop porm , decimos que el par de matrices de funciones de transferenciaM(s),N(s) forma una factorización estable deT(s) si se cumplen las tres condiciones

En este problema, llamaremos matriz de funci$ó$n de transferenciaT$(s)$ estable si todos sus polos est$á$n en$C_{-}.$ Para una matriz de funci$ó$n de transferencia $($no necesariamente estable$)T(s)$ de tama$ñ$o$p$ porm $,$ decimos que el par de matrices de funciones de transferenciaM$(s),N(s)$ forma una factorizaci$ó$n estable deT$(s)$ si se cumplen las tres condiciones siguientes: i$.M(s)$ y$N(s)$ son estables; ii$.$ existen matrices de funciones de transferencia establesx$(s)$ y$Y(s)$ tal que$[x(s)Y(s)]\left[\begin{array}{c}M(s)\\ N(s)\end{array}\right]=$I III.$T(s)=N(s)M(s{)}^{-1}.$ Las factorizaciones estables juegan un papel importante en la teor$í$a del control. $($a$)$ Suponga queT$(s)$ es estable. D$é$ un ejemplo de factorizaci$ó$n estable, es decir, d$éM(s),N(s)$ y muestran expl$í$citamente que satisfacen las tres condiciones. En el resto de este problema, dejemos$(A,B,C,D)$ ser una realizaci$ó$n deT$(s),$ es decir, tenemosT$(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D.$ Sin p$é$rdida de generalidad, suponemos que el par de matrices$(A,B)$ es estabilizable y el par de matrices$(A,C)$ es detectable. En este caso afirmamos que existe una matriz.$F$ tal que$(A+BF,B,\left[\begin{array}{c}F\\ C+DF\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\text{I}\\ D\end{array}\right])$ es una realizaci$ó$n de la matriz de funci$ó$n de transferencia$\left[\begin{array}{c}M(s)\\ N(s)\end{array}\right],$ especificando as$í$ ambosM$(s)$ y$N(s).($b$)$ Usando $(2),$ d$é$ una realizaci$ó$n paraM$(s)$ y una realizaci$ó$n paraN$(s).($c$)$ Motivar que existeF tal queM$(s)$ y$N(s)$ especificados en $(2)$ son estables. $($d$)$ Para la matrizF definido en $($c$),$ seax$(s)$ y$Y(s)$ definirse tomando$(A-GC,\left[\begin{array}{cc}GD-B& -G\end{array}\right],F,\left[\begin{array}{cc}\text{I}& 0\end{array}\right]),$ para alguna matrizG $,$ como realizaci$ó$n parax$(s)Y(s).$ Motivar que existeG tal quex$(s)$ y$Y(s)$ son estables. Demuestre que $(1)$ es v$á$lido paraM$(s),N(s),x(s),Y(s)$ definido a trav$é$s de $(2)$ y $(3).$ Pista. Recuerde la interconexi$ó$n en serie del ejercicio $6\mathrm{.}7.$ Mostrando el $í$tem iii. requiere definir qu$é$ se entiende por inversoM$(s{)}^{-1}.$ Pensando enM$(s)$ como una matriz de funci$ó$n de transferencia dev a$u,$ podemos representar la relaci$ó$n entrev y$u$ en el dominio del tiempo a trav$é$s de la din$á$mica$x^{\dot{}}(t)=(A+BF)x(t)+Bv(t),x(0)=0u(t)=Fx(t)+v(t),$ como se desprende de $(2).$ Entonces,$M(s{)}^{-1}$ es la funci$ó$n de transferencia deu a$v$ caracterizando el mismo comportamiento. $($e$)$ Sobre la base de $(4),$ explique que$(A,B,-F,I)$ es una realizaci$ó$n deM$(s{)}^{-1}.($f$)$ Utilizando el resultado de $($e$),$ demuestre queT$(s)=N(s)M(s{)}^{-1}$ sostiene paraM$(s),N(s)$ definido a trav$é$s de $(2).$ Problema $2$ Considere la funci$ó$n de transferencia $($escalar$)T(s)=\frac{p_m{s}^m+p_{m-1}{s}^{m-1}+\text{c}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}+p_{1}s+p_0}{s^n+q_{n-1}{s}^{n-1}+\text{c}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}+q_{1}s+q_0}$ con$p_m\ne 0$ y$p_i{q}_{i}mrr=nm(A,B,C,0)T(s)T(s)rC{A}^{i-1}B=0$ for all iin$\{1,2,$dots,$r-1\}$ and $C{A}^{r-1}B\ne 0r=n(A,B,C,0)\frac{?}{?}y$ sigue asint$ó$ticamente una trayectoria de referencia dada$y_{\text{r}\text{e}\text{f}}$:$[0,\infty )\to R,$

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