Pregunta: El siguiente ejercicio es típico en una clase de Mecánica Cuántica. Veremos que con lo aprendido en MAF es posible responder a la pregunta a continuación. Un rotor rígido se encuentra en el estado ψ(θ,ϕ)=4π3sinϕsinθ Evalúe ⟨L^z⟩ y ⟨L^2⟩ en ese estado. La notación con paréntesis angulares significa el valor de expectación, es decir, la forma explícita

El siguiente ejercicio es típico en una clase de Mecánica Cuántica. Veremos que con lo aprendido en MAF es posible responder a la pregunta a continuación. Un rotor rígido se encuentra en el estado $\psi (\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \varphi \sin \theta$ Evalúe $⟨{\hat{L}}_z⟩$ y $⟨{\hat{L}}^2⟩$ en ese estado. La notación con paréntesis angulares significa el valor de expectación, es decir, la forma explícita completa es $⟨\psi \left|{\hat{L}}_z\right|\psi ⟩$ y $⟨\psi \left|{\hat{L}}^2\right|\psi ⟩$. Proceda como se indica para encontrar los valores de expectación. Muestre primero que $\psi (\theta ,\varphi )=\frac{i}{\sqrt{2}}\left[Y_1^1(\theta ,\varphi )+Y_1^{-1}(\theta ,\varphi )\right]$ En la llamada notación de Dirac $\psi (\theta ,\varphi )=\frac{i}{\sqrt{2}}\left[Y_1^1(\theta ,\varphi )+Y_1^{-1}(\theta ,\varphi )\right]=\frac{i}{\sqrt{2}}[|1,1⟩+[|1,-1⟩]$ En la tarea 6 se mostró que ${\hat{L}}^2{Y}_l^m(\theta ,\varphi )={\hslash }^{2}l(l+1)Y_l^m(\theta ,\varphi )$ y ${\hat{L}}_z{Y}_l^m(\theta ,\varphi )=\hslash m{Y}_l^m(\theta ,\varphi )$. Escriba estas ecuaciones en notación de Dirac. Utilizando la relación de ortogonalidad para los armónicos esféricos, escriba también en notación de Dirac las relaciones de ortogonalidad para los las eigenfunciones de ${\hat{L}}^2$ y ${\hat{L}}_z$, es decir escriba una expresión para $⟨l,m\mid l^{\prime },m^{\prime }⟩$. Como en el punto anterior encontró que $⟨l,m\mid l^{\prime },m^{\prime }⟩={\delta }_{l,l^{\prime }}{\delta }_{m,m^{\prime }}$, ahora ya puede determinar el valor de expectación del rotor rígido que se encuentra en el estado $\psi (\theta ,\varphi )$.