Pregunta: Ejercicios de demostración de subespacios en espacios vectoriales Ejercicio 1: Conjunto dado:S={(x,y)inR2:x=2y} Sugerencia: Verifique si el conjunto está cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar sustituyendo valores específicos porx yy Ejercicio 2: Conjunto dado:S={(x,y,z)inR3:x+y+z=0} Sugerencia: Utilice las propiedades de cierre para comprobar

Ejercicios de demostraci$ó$n de subespacios en espacios vectoriales Ejercicio $1$: Conjunto dado:$S=\{(x,y)in{R}^2$:$x=2y\}$ Sugerencia: Verifique si el conjunto est$á$ cerrado bajo la suma y la multiplicaci$ó$n escalar sustituyendo valores espec$í$ficos porx y$y$ Ejercicio $2$: Conjunto dado:$S=\{(x,y,z)in{R}^3$:$x+y+z=0\}$ Sugerencia: Utilice las propiedades de cierre para comprobar siu$+v$ parau,vinS todav$í$a satisface la ecuaci$ó$n definitoria. Ejercicio $3$: Conjunto dado:$S=\{(x,y)in{R}^2$:$x^2+y^2=1\}$ Pista: Considere si la multiplicaci$ó$n escalar preserva el conjunto, especialmente cuando el escalar no es $1$ o $-1.$ Ejercicio $4$: Conjunto dado:$S=\{(x,y,z)in{R}^3$:$xy=5\}$ Sugerencia: Verifique si el vector cero est$á$ incluido en el conjunto, lo cual es necesario paraS ser un subespacio. Ejercicio $5$: Conjunto dado:$S=\{(x,y,z)in{R}^3$:$x=y=z\}$ Sugerencia: Examine la estructura probando si hay elementos t$í$picos como$(1,1,1)$ y$(2,2,2)$ Satisfacer clausura bajo adici$ó$n y multiplicaci$ó$n escalar. Ejercicio $6$: Conjunto dado:$S=\{(x,y)in{R}^2$:$y=0\}$ Sugerencia: Este es el eje x$.$ Verifique ambas propiedades de cierre centr$á$ndose en c$ó$mo cambiay afectan al conjunto. Ejercicio $7$: Conjunto dado:$S=\{p(t)inP$:$p(1)=0\}$ Pista: Los polinomios que se anulan en un punto espec$í$fico forman un tipo com$ú$n de subespacio en los espacios funcionales. Pruebe la clausura bajo la suma de polinomios y la multiplicaci$ó$n escalar. Ejercicio $9$: Conjunto dado:$S=\{Ain{M}_{2x2}(R)$:$Tr(A)=0\}$ Pista: Las matrices con traza cero tienen propiedades especiales. Verifique si la traza de la suma y el m$ú$ltiplo escalar de las matrices enS Tambi$é$n es igual a cero. Ejercicio $10$: Dado el conjunto:$S=\{(x,y,z)in{R}^3$:$x+y=1\}$ Sugerencia: Al igual que en ejercicios anteriores que involucran ecuaciones, verifique si el vector cero est$á$ incluido y si se cumple el cierre bajo la suma y la multiplicaci$ó$n escalar. Ejercicios sobre demostraci$ó$n de subespacios en espacios vectoriales Ejercicio $1$: Conjunto dado:$S=\{(x,y)in{R}^2$:$x=2y\}$ Sugerencia: Verifique si el conjunto est$á$ cerrado bajo la suma y la multiplicaci$ó$n escalar sustituyendo valores espec$í$ficos porx y$y$ Ejercicio $2$: Conjunto dado:$S=\{(x,y,z)in{R}^3$:$x+y+z=0\}$ Sugerencia: Utilice las propiedades de cierre para comprobar siu$+v$ parau,vinS todav$í$a satisface la ecuaci$ó$n definitoria. Ejercicio $3$: Conjunto dado:$S=\{(x,y)in{R}^2$:$x^2+y^2=1\}$ Pista: Considere si la multiplicaci$ó$n escalar preserva el conjunto, especialmente cuando el escalar no es $1$ o $-1.$ Ejercicio $4$: Conjunto dado:$S=\{(x,y,z)in{R}^3$:$xy=5\}$ Sugerencia: Verifique si el vector cero est$á$ incluido en el conjunto, lo cual es necesario paraS ser un subespacio. Ejercicio $5$: Conjunto dado:$S=\{(x,y,z)in{R}^3$:$x=y=z\}$ Sugerencia: Examine la estructura probando si hay elementos t$í$picos como$(1,1,1)$ y$(2,2,2)$ Satisfacer clausura bajo adici$ó$n y multiplicaci$ó$n escalar. Ejercicio $6$: Conjunto dado:$S=\{(x,y)in{R}^2$:$y=0\}$ Sugerencia: Este es el eje x$.$ Verifique ambas propiedades de cierre centr$á$ndose en c$ó$mo cambiay afectan al conjunto. Ejercicio $7$: Conjunto dado:$S=\{p(t)inP$:$p(1)=0\}$ Pista: Los polinomios que se anulan en un punto espec$í$fico forman un tipo com$ú$n de subespacio en los espacios funcionales. Pruebe la clausura bajo la suma de polinomios y la multiplicaci$ó$n escalar.