Pregunta: Ejercicio 7. Considere el juego de la charla barata. DejarU(θ,a) ser la función de utilidad del receptor, en la que el estadoθ se apoya en0,1 según alguna función de densidad de probabilidadf(θ)>0 , yain[0,1] es la elección del Receptor. Asumir queU es dos veces continuamente diferenciable conU12>0 yU22<0 y eso para cada unoθ , existe algunaa tal

Ejercicio $7.$ Considere el juego de la charla barata. DejarU$(\theta ,a)$ ser la funci$ó$n de utilidad del receptor, en la que el estado$\theta$ se apoya en$0,1$ seg$ú$n alguna funci$ó$n de densidad de probabilidadf$(\theta )>0,$ yain$[0,1]$ es la elecci$ó$n del Receptor. Asumir queU es dos veces continuamente diferenciable con$U_{12}>0$ y$U_{22}<0$ y eso para cada uno$\theta ,$ existe algunaa tal que$U_2(\theta ,a)=0.$ Condicional a cada mensaje enviado por el Remitente que indica que el evento de intervalo de estados$[{\theta }_1,{\theta }_2]({\theta }_1<{\theta }_2)$ sucede, el receptor responde de manera $ó$ptima eligiendo$a^{*}({\theta }_1,{\theta }_2)$ :$a^{*}({\theta }_1,{\theta }_2)=argma{x}_{\text{a}\text{i}\text{n}[0,1]}{\displaystyle \underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}}U(\theta ,a)f(\theta )d\theta .$ Ahora dejaU$(\theta ,a)=V(\theta -a),$ en el cual$V^{\text{'}\text{'}}<0.$ Suponer quef$(\theta )$ es log$-$c$ó$ncavo$.$ Demuestre que para cualquier$\delta >0,a^{*}({\theta }_1+\delta ,{\theta }_2+\delta )-a^{*}({\theta }_1,{\theta }_2)\le \delta .($Sugerencia: use FOC$)$