Pregunta: Ejercicio 4. Un efecto de la teoría general de la relatividad de Einstein es que un objeto masivo, como una galaxia, puede actuar como una "lente gravitacional"; esto es, si la galaxia está ubicada entre un observador (en la tierra) y una fuente luminosa (como un cuásar), entonces esa fuente luminosa aparece como un anillo que rodea la galaxia. Si la

Ejercicio $4.$ Un efecto de la teor$í$a general de la relatividad de Einstein es que un objeto masivo, como una galaxia, puede actuar como una "lente gravitacional"; esto es$,$ si la galaxia est$á$ ubicada entre un observador $($en la tierra$)$ y una fuente luminosa $($como un cu$á$sar$),$ entonces esa fuente luminosa aparece como un anillo que rodea la galaxia. Si la lente gravitacional es mucho m$á$s cercana a la fuente luminosa que al observador, entonces el radio angular $\theta$ del anillo $($en radianes$)$ se relaciona con la masa $M$ de la lente y su distancia $D$ desde el observador mediante:

$\theta =([GM],[c^{2}D]{)}^{\frac{1}{2}}$

donde $G$ es la constante gravitacional y $c$ es la velocidad de la luz.

a$)$ Resuelva para $M$ en t$é$rminos de $\theta$ y $D.$

b$)$ Encuentre la diferencial total de $M$ como una funci$ó$n de $\theta$ y $D.$

c$)$ Si el radio angular $\theta$ puede medirse con un error no mayor a $2\%$ y la distancia $D$ a la lente puede estimarse con un error no mayor a $10\%,¿$cu$á$l es el error m$á$ximo aproximado en el c$á$lculo de la masa $M$ de la lente $($tome valores de los par$á$metros de la funci$ó$n$)?$