Resuelto Ejercicio 4. Sea T:R3→R3 la transformación lineal

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Pregunta: Ejercicio 4. Sea T:R3→R3 la transformación lineal definida por: T(x)=⎝⎛y−xz−yz−x⎠⎞ (a) Encuentre Ker(T) e indique su dimensión. (b) Encuentre Im(T) e indique su dimensión. (c) Considere el plano S={(x,y,z):2x−y+z=0}. Encuentre T(S). (d) ∗ (argumente) Verdadero o falso: Im(T)=T(S). (e) ∗ (argumente) Verdadero o falso: para cualquier plano S, se tiene que
Transformaciones Lineales
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To begin solving this problem, first understand that the kernel (Ker(T)) of a linear transformation is the set of all vectors in the domain which are mapped to the zero vector in the co-domain, that is, Ker(T) = {v ∈ R^3 : T(v) = 0}.
Paso 1
Introducción:

Dada la transformación lineal $T : R^{3} \to R^{3}$ definida por $\begin{matrix} T (x) = [\begin{matrix} y - x \\ z - y \\ z - x \end{matrix}] \end{matrix}$ .
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Ejercicio 4. Sea

T : R^{3} \to R^{3}

la transformación lineal definida por:

T (x) = ⎝ ⎛ y - x z - y z - x ⎠ ⎞

(a) Encuentre

Ker (T)

e indique su dimensión. (b) Encuentre

Im (T)

e indique su dimensión. (c) Considere el plano

S = {(x, y, z) : 2 x - y + z = 0}

. Encuentre

T (S)

. (d)

^{*}

(argumente) Verdadero o falso:

Im (T) = T (S)

. (e)

^{*}

(argumente) Verdadero o falso: para cualquier plano

S

, se tiene que

Im (T) = T (S)